2016년 07월 가형 30번

30. $0\le \theta \le\cfrac{\pi}2$인 $\theta$에 대하여 좌표평면 위의 두 직선 $l,~m$은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 두 직선 $l,~m$은 서로 평행하고 $x$ 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 각각 $\theta$이다.

(나) 두 직선 $l,~m$은 곡선 $y=\sqrt{2-x^2}\quad (-1\le x\le 1)$과 각각 만난다.

두 직선 $l$과 $m$ 사이의 거리의 최댓값을 $f(\theta)$라 할 때, $\begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}2}f(\theta)d\theta=a+b\sqrt 2 \pi\end{aligned}$이다. $20(a+b)$의 값을 구하시오. (단, $a$와 $b$는 유리수이다.)

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i. 정리

• $l\mathrel {/\!/}m$
• 기울기 : $\tan\theta$
• $y=\sqrt{2-x^2 }\quad (-1\le x\le 1)$

ii. 생각

• 우선 그래프부터 그리고 생각하자.

  

• $m$을 기준으로 직선 $m$은 $(1,~1)$을 지나고 기울기가 $\tan\theta$이고 이에 평행하면서 접한 직선이 $l$이다.

• $0\le\theta <\cfrac{\pi}4$ 일 때, 직선 $l$은 곡선 위에서 접할 것이다.

• $\cfrac{\pi}4\le \theta \le \cfrac{\pi}2$일 때, 직선 $l$은 $(-1,~1)$ 을 지나고 기울기가 $\tan\theta$인 직선이다.

iii. $0\le\theta \le \cfrac{\pi}4$일 때,

• 직선 $l$을 구한 후에 직선 $l$과 $(1,~1)$까지의 거리가 $f(\theta)$이다.

• 공식을 알고 있다면 공식을 쓰고....

• 난 공식을 모르니까...$y=\tan\theta x+k$라 하면,

  • $(a^2 +b^2)(x^2+y^2)\ge (ax+by)^2$을 이용하자.

    $\tan\theta \cdot x -y=-k$

    $x^2+y^2 =2$를 이용하면,

    $\big(\tan^2 \theta +(-1)^2\big)2\ge k^2$

    $\therefore~-\cfrac{\sqrt 2}{\cos \theta } \le k\le \cfrac{\sqrt 2}{\cos\theta}$

    $\therefore~k=\cfrac{\sqrt 2}{\cos\theta}$

• $y=\tan\theta \cdot x +\cfrac{\sqrt 2}{\cos \theta}$와 $(1,~1)$의 거리를 구하자.

  공식에 대입하면...(이건 외워야지....그래도 외울만 하잖아?

  절댓값을 잘 생각하면서 풀어내면,

  $\cos\theta (\tan\theta-1+\cfrac{\sqrt 2}{\cos\theta} =\sin\theta-\cos \theta+\sqrt 2$

iv. $\cfrac{\pi}4 <\theta \le \cfrac{\pi}2$

직선 $l$의 방정식은 $y=\tan\theta(x+1)+1$과 $(1,~1)$까지의 거리

$2\sin \theta$

v. $f(\theta)$를 정리하면,

$f(\theta)=\begin{cases}\sin \theta -\cos \theta +\sqrt 2 &(0\le \theta \le\cfrac{\pi}4)\\ \\ 2\sin\theta &(\cfrac{\pi}4<\theta \le \cfrac{\pi}2) \end{cases}$

$\begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}2}f(\theta)d\theta &=\int_0^{\frac{\pi}4}f(\theta)d\theta +\int_{\frac{\pi}4}^{\frac{\pi}2}f(\theta)d\theta \\ \\ &=1+\cfrac{\sqrt 2}4\pi\end{aligned}$

$\therefore~20(a+b)=25$