2016년 10월 가형 21번

21. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)=f(-x)$이다.

(나) 모든 양의 실수 $x$에 대하여 $f'(x)>0$이다.

(다) $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0,~\lim\limits_{x\to \infty} f(x)=\pi$

함수 $g(x)=\cfrac{\sin f(x)}x$에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. 모든 양의 실수 $x$에 대하여 $g(x)+g(-x)=0$이다.

ㄴ. $\lim\limits_{x\to 0}g(x)=0$

ㄷ. $f(\alpha)=\cfrac{\pi}2 ~(\alpha>0)$이면 방정식 $|g(x)|=\cfrac 1{\alpha}$의 서로 다른 실근의 개수는 $2$이다.

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i. 정리

• $f(x)=f(-x)$

$\rightarrow ~y$축 대칭

$f'(x)=-f'(-x)\quad\longrightarrow\quad f'(0)=0$

• $x>0\quad \longrightarrow \quad f'(x)>0$

  제$1$사분면에서 증가함수

• $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0,~\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\pi$

  점근선이 존재한다. 대충 그래프를 그리면

  

ii. ㄱ

• $g(x)=\cfrac{\sin f(x)}x$
• $g(-x)=\cfrac{\sin f(-x)}{-x} =-\cfrac{\sin f(x)}x=-g(x)$

$\therefore~g(x)+g(-x)=0$

True

iii. ㄴ

• 로피탈의 정리를 쓰면,

  $\begin{aligned}\lim\limits_{x\to 0}g(x)&= \lim\limits_{x\to 0} \cfrac{\sin f(x)}x \\ \\ &= \lim\limits_{x\to 0} \cfrac{\cos f(x)\times f'(x)}{1} \\ \\ &= 0 \end{aligned}$

• 제대로 풀면...

  $\begin{aligned} \lim\limits_{x\to 0}g(x)&= \lim\limits_{x\to 0} \cfrac{\sin f(x)}x \\ \\ &= \lim\limits_{x\to 0} \cfrac{\sin f(x)}{f(x)}\times \cfrac{f(x)}{x}\\ \\ &= 1\times \lim\limits_{x\to 0} \cfrac{f(x)-f(0)}{x-0} \\ \\ &= f'(0)=0\end{aligned}$

iv. ㄷ

• $g(x)$는 원점 대칭

• $|g(x)|$는 원점을 지나고 $y$축 대칭

• 대충 그래프 그려서는 좀 애매하네?

• 그래프 개형을 살펴보자.

  • ㄱ과 ㄴ 에서 $g(x)$는 $x=0$에서 연속
  • $\lim\limits_{x\to\infty}g(x)=\lim\limits_{x\to \infty}\cfrac{\sin f(x)}x=0$

  이에 따르면 $g(x)$는 제$1$사분면에서 증가하다 감소하면서 $0$으로 수렴한다.($\because~g(x)$는 연속)

  • $g(\alpha)=\cfrac 1{\alpha}$

    $g'(\alpha)=0$이면 $2$개의 실근

    $g'(\alpha)\neq 0$이면 $4$개의 실근 ($\because$ $g'(\alpha)>0$이면 증가하면서 근이 하나 만들어 졌고..감소하면서 만들어 질테고... $g'(\alpha)<0$이면 뭐 $\alpha$보다 작은 구간에서 $\cfrac 1{\alpha}$가 하나 나오겠지 최소한...)

  • $g'(x)=\cfrac {xf'(x)\cos f(x)-\sin f(x)}{x^2}$

    $g'(\alpha)=-\cfrac 1{\alpha^2}<0$

$\therefore~$적어도 $4$개 이상이네. $4$개인지를 물은 건 아니니까 여기까지...

그런데 $4$개가 맞네...

열린구간 $(0,~1)$에서 $\sin f(x)$는 증가, $\cfrac 1x>1$ 이니까 증가

닫힌구간 $[1,~\alpha]$에서 $\sin f(x)$는 증가, $\cfrac 1x \le1$이니까 확답은 못하지만 이 구간 어디에선가 극댓값이 발생하고 감소로 바뀐다. (당연히 $g'(\alpha)\neq 0$인 건 알고 있고...$g'(\alpha)<0$임을 알고 있지..

열린구간 $(\alpha,~\infty)$는 뭐 당연히 $\sin f(x)$는 감소 $\cfrac 1x<1$이니 감소.