2016년 07월 가형 21번

21. 그림과 같이 중심이 $O$이고 반지름의 길이가 $1$인 원의 둘레를 $n~(n\ge 4)$등분한 점을 $A_1,~A_2,~\cdots,~A_n$이라 하자. 호 $A_iA_{i+1}~(i=1,~2,~\cdots,~n)$을 이등분한 점을 $M_i$라 하고 사각형 $A_iM_iA_{i+1}N_i$가 마름모가 되도록 하는 선분 $OM_i$ 위의 점을 $N_i$라 하자. $n$개의 사각형 $A_1M_1A_2N_1$, $A_2M_2A_3N_2$, $A_3M_3A_4N_3$, $\cdots,~A_nM_nA_{n+1}N_n$의 넓이의 합을 $S_n$이라 할 때, $\lim\limits_{n\to\infty} \big(n^2 \times S_n\big)$의 값을 구하시오. (단, $A_{n+1}=A_1$)

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i. 정리

• $\angle A_nOA_1=\cfrac{2\pi}n$
• $S_n=n\times S\quad$(단, $S$는 마름모 하나의 넓이)

ii. 생각

• $\angle OBA_1=\cfrac{\pi}2$
• $\overline{A_1A_n}=2\times \sin \cfrac{\pi}n$
• $\overline{M_nN_n}=2\times (1-\cos \cfrac{\pi}n)$

이를 토대로 계산시작하자.

$\begin{aligned}S&=2\times \cfrac 12\times \overline{A_1A_n}\times\cfrac 12 N_nM_n \\ \\ &= 2\sin\cfrac{\pi}n(1-\cos \cfrac{\pi}n)\end{aligned}$

$\therefore~S_n=n\times 2\sin \cfrac{\pi}n (1-\cos \cfrac{\pi}n)$

iii. 계산

$\lim\limits_{n\to\infty} n^2\times S_n=\lim\limits_{n\to\infty} 2n^3 \sin \cfrac{\pi}n(1-\cos \cfrac{\pi}n)$

편의상 $\cfrac {\pi}n=t$로 치환하면, $n\to\infty$이면 $t\to 0$

$\begin{aligned}\lim\limits_{n\to\infty} n^2 \times S_n &= \lim\limits_{t\to 0} \cfrac {\pi^3}{t^3}2\sin t(1-\cos t) \\ \\ &= \pi^3 \lim\limits_{t\to 0} \cfrac{2\sin t\times \sin^2 t}{t^3(1+\cos t)}\\ \\ &=\pi^3\end{aligned}$