2017학년도 06월 가형 30번

30. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 상수 $a~(0<a<2\pi)$와 모든 실수 $x$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(x)=f(-x)$

(나) $\begin{aligned} \int_x^{x+a} f(t)dt=\sin \Big(x+\cfrac {\pi}3\Big)\end{aligned}$

닫힌 구간 $\Big[0,~\cfrac a2\Big]$에서 두 실수 $b,~c$에 대하여 $f(x)=b\cos (3x)+c\cos (5x)$일 때, $abc=-\cfrac qp\pi$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 정리

• $0<a<2\pi$

• $f(x)$ 미분가능

  • $f(x)=f(-x)\quad y$축 대칭

• $\begin{aligned} \int_x^{x+a} f(t)dt=\sin \big(x+\cfrac{\pi}3\big)\end{aligned}$

• $\big[0,~\cfrac a2 \big]\quad \longrightarrow\quad f(x)=b\cos (3x)+c\cos (5x)$

ii. 생각

• (나)에 $y=f(x)$가 $y$축 대칭임을 이용해보자.

  $x=-\cfrac a2$를 대입하면,

  $\begin{aligned} \int_{-\frac a2}^{\frac a2}f(t)dt&=2\int_0^{\frac a2}f(t)dt \\ \\ &= \sin \Big(-\cfrac a2 +\cfrac{\pi}3\Big)\end{aligned}$

• $x=0$을 대입하면,

  $f(0)=b+c$

• 그래프도 못 그리고.. 미분이 남았구나!

  • $f(x+a)-f(x)=\cos \big(x+\cfrac{\pi}3\big)$

  음....여기에도 $x=-\cfrac a2$를 대입해야겠네. ($\because~y$축 대칭을 뼈속까지 뽑아먹자!)

  $\begin{aligned}f\big(\cfrac a2\big)-f\big(-\cfrac a2\big)&=\cos \big(-\cfrac a2+\cfrac{\pi}3\big)\\ \\&=0 \end{aligned}$

  오! $a$를 구할 수 있겠다!

  $-\cfrac a2 +\cfrac{\pi}3=-\cfrac{\pi}3,~-\cfrac 32\pi$

  $a=\cfrac 53\pi,~\cfrac 83\pi$

  $0<a<2\pi$이므로,

  $\therefore~a=\cfrac 53\pi$

iii. 생각 2

• $\begin{aligned} \int_0^{\frac a2 }f(t)dt=\cfrac 12\sin\big(-\cfrac 53\pi+\cfrac {\pi}3\big)\end{aligned}$

  계.산.생.략.

  $\cfrac b3+\cfrac c{10} =-\cfrac 12$

  $10b+3c=-15$

식 하나만 더 뽑아내자....

• $f(x+a)-f(x)=\cos \big(x+\cfrac{\pi}3\big)$ 이걸 한 번 더 미분해봐?

  $f'(x+a)-f'(x)=-\sin\big(x+\cfrac{\pi}3\big)$

  오... 여기에 $x=-\cfrac a2$를 대입하면,

  $f'(\cfrac a2)-f'(-\cfrac a2)=1$

  $f'(x)=-f'(-x)$를 이용하면, ($\because ~y=f(x)$는 $y$축 대칭)

  $f'(\cfrac a2)=\cfrac 12$

  계.산.생.략.

  $6b+5c=-1$

식을 다 뽑아냈다!!!

$\begin{cases} 10b+3c=-15 \\ \\ 6b+5c=-1\end{cases}\quad\longrightarrow\quad b=-\cfrac94,~c=\cfrac 52$

iv. 계산

$\therefore~abc=-\cfrac{75}8\pi$

$\therefore~p+q=83$