2017학년도 6월 가형 21번

21. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(x)\neq 1$

(나) $f(x)+f(-x)=0$

(다) $f'(x)=\Big\{1+f(x)\Big\}\Big\{1+f(-x)\Big\}$

<보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)\neq -1$이다.

ㄴ. 함수 $f(x)$는 어떤 열린 구간에서 감소한다.

ㄷ. 곡선 $y=f(x)$는 세 개의 변곡점을 갖는다.

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i. 정리

• $f(x)=-f(-x)$

  • 원점 대칭
  • $f(0)=0$
  • $f'(x)=f'(-x)$

ii. 생각

• (다)에 $f(-x)=-f(x)$를 대입해보자.

  $\begin{aligned} f'(x)&=\big\{ 1+f(x)\big\} \big\{ 1-f(x)\big\}\\ \\ &=1-\Big\{f(x)\Big\}^2\end{aligned}$

  $f'(0)=1$

• 오..이걸로 대충 그래프 그릴 수 있다?

  • 원점을 지나고,
  • 원점에서 함수는 증가상태이고
  • $\lim\limits_{x\to \infty} f(x)=1$이고
  • 원점대칭이다.

  

iii. ㄱ

True

iv. ㄴ

• $f'(x)=1-(f(x))^2>0$

  $f(x)$는 실수 전체구간에서 증가한다.

False

v. ㄷ

• $f''(x)=-2f(x)f'(x)$

  $x=0$에서만 유일하다.

False