2016년 03월 가형 30번

30. 함수 $f(x)=x^2e^{ax}~(a<0)$에 대하여 부등식 $f(x)\ge t~(t>0)$을 만족시키는 $x$의 최댓값을 $g(t)$라 정의하자. 함수 $g(t)$가 $t=\cfrac{16}{e^2}$에서 불연속일 때, $100a^2$의 값을 구하시오. (단, $\lim\limits_{x\to \infty} f(x)=0$)

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i. 정리

• $f(x)=x^2 e^{ax}\quad (a<0)$
• $f(x)\ge t~(t>0)\quad\longrightarrow\quad g(t)=x_{\max}$
• $g(t)$는 $t=\cfrac{16}{e^2}$에서 불연속

ii. 생각

• $y=f(x)$의 개형부터 그리자.

  $f'(x)=ax(x+\cfrac 2a)e^x$

  

헐...풀렸네?

• $f\big(-\cfrac 2a\big) =\cfrac{16}{e^2}$

  $\begin{aligned} f\big(-\cfrac 2a\big)&=\cfrac 4 {a^2} e^{a\times- \cfrac 2a} \\ \\ &=\cfrac 4{a^2}e^{-2}=\cfrac {16}{e^2}\end{aligned}$

  $\therefore~a^=\cfrac 14$

$\therefore~100a^2 =25$