2022년도 04월 22번

22. 양수 $a$$a$와 최고차항의 계수가 $1$$1$인 삼차함수 $f(x)$$f(x)$에 대하여 함수

$$g(x)=\begin{array}{r}{\int }_0^x\{f^{\prime }(t+a)\times f^{\prime }(t-a)\}dt\end{array}$$

가 다음 조건을 만족시킨다.

함수 $g(x)$$g(x)$는 $x=\frac{1}{2}$$x=\cfrac 12$과 $x=\frac{13}{2}$$x=\cfrac{13}2$에서만 극값을 갖는다.

$f(0)=-\frac{1}{2}$$f(0)=-\cfrac 12$일 때, $a\times f(1)$$a\times f(1)$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $a>0$$a>0$

• $f(x)=x^3+\sim$$f(x)=x^3 +\sim$

• $g(x)=\begin{array}{r}{\int }_0^x\{f^{\prime }(t+a)\times f^{\prime }(t-a)\}dt\end{array}$$g(x)=\begin{aligned} \int_0^x \big\{f'(t+a)\times f'(t-a)\big\}dt\end{aligned}$

  $f^{\prime }(x)$$f'(x)$를 $x$$x$축으로 각각 $a,-a$$a,~-a$만큼 이동한 함수의 곱을 적분했네?

• $g(x)$$g(x)$는 $x=\frac{1}{2},\frac{13}{2}$$x=\cfrac 12,~\cfrac{13}2$에서만 극값을 갖는다.

ii. 생각

• 습관적으로 $g(0)=0$$g(0)=0$ 어..이거 쓸모 없어보인다...

• 극값을 활용하기 위해 미분하자.

  $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(t+a)\times f^{\prime }(t-a)$$g'(x)=f'(t+a)\times f'(t-a)$

  $⟵$$\longleftarrow\quad$$f(x)$$f(x)$가 삼차함수이므로 $g^{\prime }(x)$$g'(x)$는 $4$$4$차 함수이다. 그리고 극값은 오직 $2$$2$개 뿐이다?

  이럴 때 필요한 건 뭐? 그리자. 조건에 맞도록

  

  이 경우에만 가능하다.

  그리고 이 함수는 $f^{\prime }(x)$$f'(x)$을 $x$$x$ 축으로 $\pm a$$\pm a$만큼 이동시킨 함수 끼리의 곱이다!

  그럼 당연히 $\gamma$$\gamma$는 $\frac{1}{2},\frac{13}{2}$$\cfrac 12,~\cfrac {13}2$의 중점일 것이다!

  $\therefore \gamma =\frac{\frac{1}{2}+\frac{13}{2}}{2}=\frac{7}{2}$$\therefore~\gamma=\cfrac{\frac 12+\frac {13}2}2=\cfrac 72$

• 그리고 당연히 $y=f^{\prime }(x)$$y=f'(x)$의 대칭축은 $x=\frac{7}{2}$$x=\cfrac 72$임도 알아차릴 수 있다!

• 다시 그래프를 그려서 생각하자.

  

  이 그래프를 $x$$x$ 축으로 $-a$$-a$만큼 이동하면,

  • $\frac{7}{2}-b-a=\frac{1}{2}$$\cfrac 72 -b -a =\cfrac 12$
  • $\frac{7}{2}+b-a=\frac{7}{2}⟶a=b$$\cfrac72 +b-a=\cfrac 72 \quad \longrightarrow\quad a=b$

  이 그래프를 $x$$x$축으로 $a$$a$만큼 이동하면,

  • $\frac{7}{2}-b+a=\frac{7}{2}$$\cfrac 72 -b+a=\cfrac 72$
  • $\frac{7}{2}+b+a=\frac{13}{2}$$\cfrac 72 +b+a=\cfrac{13}2$

주어진 식으로 $a$$a$값을 구하면, $a=\frac{3}{2}$$a=\cfrac 32$

이를 이용하여 $f^{\prime }(x)$$f'(x)$를 구하면,

$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =3(x-\frac{7}{2}-\frac{3}{2})(x-\frac{7}{2}+\frac{3}{2})\\ \\ & =3(x-5)(x-2)\\ \\ & =3x^2-21x+30\end{array}$$\begin{aligned} f'(x)&=3(x-\cfrac 72 -\cfrac 32 )(x-\cfrac 72 +\cfrac 32) \\ \\ &=3(x-5)(x-2) \\ \\ &= 3x^2 -21x +30\end{aligned}$

$\therefore f(x)=x^3-\frac{21}{2}{x}^2+30x-\frac{1}{2}(\because f(0)=-\frac{1}{2})$$\therefore~f(x)=x^3 -\cfrac {21}2x^2 +30x -\cfrac 12 \quad (\because~f(0)=-\cfrac 12)$

iii. 계산.

• $f(1)=20$$f(1)=20$

$\therefore a\times f(1)=30$$\therefore~a\times f(1)=30$