2022년도 04월 21번

21. 공차가 자연수 $d$$d$이고 모든 항이 정수인 등차수열 $\{a_n\}$$\big\{a_n\big\}$이 다음 조건을 만족시키도록 하는 모든 $d$$d$의 값의 합을 구하시오.

(가) 모든 자연수 $n$$n$에 대하여 $a_n\ne 0$$a_n\neq 0$이다.

(나) $a_{2m}=-a_m$$a_{2m}=-a_m$이고, $\sum _{k=m}^{2m}|a_k|=128$$\sum\limits_{k=m}^{2m}|a_k|=128$인 자연수 $m$$m$이 존재한다.

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i. 정리

• $d\in \mathbb{N}$$d\in \mathbb N$
• $a_n\in \mathbb{Z}$$a_n\in \mathbb Z$
• $a_n\ne 0$$a_n\neq 0$
• $a_{2m}=-a_m$$a_{2m}=-a_m$
• $\sum _{k=m}^{2m}|a_k|=128⟶m$$\sum\limits_{k=m}^{2m}|a_k|=128\quad\longrightarrow\quad m$ 존재

ii. 생각

• 습관적으로 등차수열이니까 $a_n=a_1+(n-1)d$$a_n=a_1+(n-1)d$

• $a_{2m}=-a_m$$a_{2m}=-a_m$을 정리하자.

  계.산.생.략.

  $2a_1+(3m-2)d=0$$2a_1+(3m-2)d=0$

  $\Rightarrow d=-\frac{2a_1}{3m-2}$$\Rightarrow\quad d=-\cfrac {2a_1}{3m-2}$

  오...$a_1<0$$a_1<0$이네...참 좋은 정보구나.....

• 조건 (나)를 생각하자.

  아..절댓값....그, 그런데 말이다.. $a_1<0$$a_1<0$이고 $d$$d$는 자연수니까 이 등차수열은 증가하는 수열이다!

  추가로 수열은 정의역이 자연수인 함수로 볼 수 있지?

  이해를 돕기 위해 그림을 그려보자

  

  (실제로는 정수로 격자점으로 찍어야 한다...귀찮으니까....)

  그런데, $a_n\ne 0$$a_n\neq 0$이므로 $m\ne 2k$$m\neq 2k\quad$(단, $k$$k$는 자연수) 일 것이다.

• $\sum _{k=m}^{2m}|a_k|=128$$\sum\limits_{k=m}^{2m}|a_k|=128$을 생각해보자.

  위의 그래프를 생각해보면, $\sum _{k=\frac{3}{2}m+\frac{1}{2}}^{2m}{a}_k=64$$\sum\limits_{k=\frac 32m+\frac 12} ^{2m}a_k=64$를 유추할 수 있을까?

  절댓값을 씌우고(니들이 직접 그려봐) , $a_{\frac{3}{2}m}\ne 0$$a_{\frac 32 m}\neq 0$일 테니까!

• 계산하자.

  $a_{\frac{3}{2}m+\frac{1}{2}}+\cdots +a_{2m}$$a_{\frac 32 m+\frac 12}+\cdots +a_{2m}$ 또한 새로운 등차수열로 볼 수 있으니까~이를 계산하면, $\frac{(a_1+a_n)n}{2}$$\cfrac {(a_1+a_n)n}2$를 이용할거야.

  • $a_{\frac{3}{2}m+\frac{1}{2}}=a_1+(\frac{3}{2}m-\frac{1}{2})d$$a_{\frac 32m +\frac 12}=a_1+(\cfrac 32 m-\cfrac 12)d$
  • $a_{2m}=a_1+(2m-1)d$$a_{2m} =a_1+(2m-1)d$

  $\frac{1}{2}(2a_1+(\frac{7}{2}m-\frac{3}{2})d)(\frac{1}{2}m+\frac{1}{2})=64$$\cfrac 12 \big( 2a_1 +(\cfrac 72 m-\cfrac 32 )d\big)(\cfrac 12 m+\cfrac 12)=64$

  아...더럽네...

  $d$$d$값을 찾아야 하므로, 위에서 구한 $a_{2m}=-a_m$$a_{2m}=-a_m$의 관계식에서 $a_1=-\frac{(3m-2)d}{2}$$a_1=-\cfrac {(3m-2)d}2$를 대입하고 정리하자.

  계.산.생.략.

  $(m+1{)}^{2}d=512=2^9$$(m+1)^2d=512=2^9$

• $(m+1{)}^{2}d=2^9$$(m+1)^2d=2^9$를 이용하여 $d$$d$를 구하자.

  뭐 당연히 $d$$d$가 자연수가 되기 위해서는 $(m+1{)}^2=2^k$$(m+1)^2 =2^k$ (단, $k$$k$는 자연수)일 것이다.

  • $m=1⟶d=2^7$$m=1\quad \longrightarrow\quad d=2^7$
  • $m=3⟶d=2^5$$m=3\quad \longrightarrow\quad d=2^5$
  • $m=7⟶d=2^3$$m=7\quad \longrightarrow\quad d=2^3$
  • $m=15⟶d=2$$m=15\quad \longrightarrow\quad d=2$

$\therefore 2+8+32+128=170$$\therefore~2+8+32+128=170$