2023학년도 06월 14번

14. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$$f(x)$와 최고차항의 계수가 $1$$1$인 삼차함수 $g(x)$$g(x)$가

$$\begin{array}{c}g(x)=\{\begin{array}{ll}\begin{array}{r}-{\int }_0^{x}f(t)dt\end{array}& (x<0)\\ \\ \\ \begin{array}{r}{\int }_0^{x}f(t)dt\end{array}& (0\le x)\end{array}\end{array}$$

을 만족시킬 때, 보기에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. $f(0)=0$$f(0)=0$

ㄴ. 함수 $f(x)$$f(x)$는 극댓값을 갖는다.

ㄷ. $2<f(1)<4$$2<f(1)<4$일 때, 방정식 $f(x)=x$$f(x)=x$의 서로 다른 실근의 개수는 $3$$3$이다.

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i. 생각

• $g(x)$$g(x)$는 삼차함수이다?

  연속이고 미분가능하다!

  $\begin{array}{c}{g}^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}-f(x)& (x<0)\\ \\ f(x)& (x\ge 0)\end{array}\end{array}$$g'(x)=\begin{cases} -f(x) &(x<0)\\ \\ f(x)&(x\ge 0)\end{cases}$

  당연히 $x=0$$x=0$에서 미분가능해야 한다!

  $\underset{x\to 0-}{lim}{f}^{\prime }(x)=f^{\prime }(0)$$\lim\limits_{ x\to 0-}f'(x)=f'(0)$

  $-f^{\prime }(0)=f^{\prime }(0)⟶f^{\prime }(0)=0$$-f'(0)=f'(0)\quad \longrightarrow \quad f'(0)=0$

  ㄱ. True

• $g(x)$$g(x)$의 개형을 생각하자.

  • $g(0)=0,g^{\prime }(0)=0$$g(0)=0,~g'(0)=0$이고 최고차항의 계수가 $1$$1$

  

  음... 조금 이해를 쉽게 하기 위해서

  $\begin{array}{c}g(x)=\{\begin{array}{ll}{\int }_x^{0}f(t)dt& (x<0)\\ \\ {\int }_0^{x}f(t)dt& (0\le x)\end{array}\end{array}$$g(x)=\begin{cases} \int_x^0 f(t)dt &(x<0)\\ \\ \int_0^x f(t)dt &(0\le x)\end{cases}$

  이를 토대로 도함수를 추론하면,

  

  $\therefore y=f(x)$$\therefore~ y=f(x)$는 극솟값을 갖는다. ($0<x$$0<x$일 때는 점선이 아닐 일 때가 $f^{\prime }(x)$$f'(x)$)

  ㄴ. False

• ㄷ을 살펴보자.

  조건을 만족하는 경우는 첫번째 $y=x^3$$y=x^3$의 그래프는 $2<f(1)<4$$2<f(1)<4$를 만족하지 않으므로 통과!

  • 두 번째 경우

    $h(x)=x^2(x-a)(a>0)$$h(x)=x^2 (x-a)\quad (a>0)$이라 하면,

    $h^{\prime }(x)=2x(x-a)+x^2$$h'(x)=2x(x-a)+x^2$이고

    $\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}-2x(x-a)-x^2& (x<0)\\ \\ 2x(x-a)+x^2& (0\le x)\end{array}\end{array}$$f(x)=\begin{cases} -2x(x-a)-x^2 &(x<0)\\ \\ 2x(x-a)+x^2 &(0\le x )\end{cases}$

    $f(1)=2(1-a)+1=3-2a$$f(1)=2(1-a)+1=3-2a$

    $2<f(1)<4$$2<f(1)<4$를 이용하면, $-\frac{1}{2}<a<\frac{1}{2}$$-\cfrac 12<a<\cfrac 12$

    그리고, $\underset{x\to 0-}{lim}{f}^{\prime }(x)<1$$\lim\limits_{ x\to 0-} f'(x)<1$이면 $x<0$$x<0$일 때 한 점에서 만난다. (총 세 점)

    $\underset{x\to 0-}{lim}{f}^{\prime }(x)=-2a$$\lim\limits_{ x\to 0-}f'(x)=-2a$이고

    $-1<-2a<1$$-1<-2a<1$

    $\therefore$$\therefore~$세 점에서 만난다.

  • 세번째 경우

    그냥 그래프만 봐도 세점...

  True