2023학년도 06월 15번

15. 자연수 $k$$k$에 대하여 다음을 만족시키는 수열 $\{a_n\}$$\big\{a_n\big\}$이 있다.

$a_1=0$$a_1=0$이고, 모든 자연수 $n$$n$에 대하여

$$\begin{array}{c}{a}_{n+1}=\{\begin{array}{ll}{a}_n+\frac{1}{k+1}& (a_n\le 0)\\ \\ a_n-\frac{1}{k}& (a_n>0)\end{array}\end{array}$$

이다.

$a_{22}=0$$a_{22}=0$이 되도록 하는 모든 $k$$k$의 값의 합을 구하시오.

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i. 생각

• 수열 문제니까 당연히 규칙을 찾는 것에만 집중하자.
• 감이 없으니 일일히 항을 계산하면서 규칙을 찾는 것에 집중하자.

ii. 계산

• $a_1=0$$a_1=0$

• $a_2=\frac{1}{k+1}$$a_2=\cfrac 1{k+1}$

• $a_3=-\frac{1}{k(k+1)}$$a_3=-\cfrac 1{k(k+1)}$

• $a_4=\frac{k-1}{k(k+1)}$$a_4=\cfrac {k-1}{k(k+1)}$

  어? $k=1$$k=1$이면 $a_4=0$$a_4=0$이다. 그리고 이 상황은 반복될 것이다!

  $a_1=a_4=a_7=\cdots$$a_1=a_4=a_7=\cdots$

  $n=3m-2(m\in \mathbb{N})$$n=3m-2\quad (m\in\mathbb N)$일 때 $a_n=0$$a_n=0$이다.

  $m=8$$m=8$이면, $a_{22}=0$$a_{22}=0$

  다시 $k\ne 1$$k\neq 1$일 때를 생각하고 계산해나가자.

• $a_5=\frac{-2}{k(k+1)}$$a_5=\cfrac {-2}{k(k+1)}$

• $a_6=\frac{-2+k}{k(k+1)}$$a_6=\cfrac {-2+k}{k(k+1)}$

  $k=2$$k=2$일 때 $a_6=0$$a_6=0$이 된다.

  $a_1=a_6=a_{1}1=\cdots$$a_1=a_6=a_11=\cdots$

  $n=5m-4$$n=5m-4$의 경우일 때, $a_n=0$$a_n=0$

  $a_{22}\ne 0$$a_{22}\neq 0$

혹시 다음 규칙은 $n=7m-6$$n=7m-6$일 때 그리고 $a_8=0$$a_8=0$일까?

• $a_7=\frac{-3}{k(k+1)}$$a_7=\cfrac {-3}{k(k+1)}$

• $a_8=\frac{k-3}{k(k+1)}$$a_8=\cfrac {k-3}{k(k+1)}$

  $k=3$$k=3$일 때, $a_8=0$$a_8=0$이고

  $a_1=a_8=a_{15}=a_{22}$$a_1=a_8=a_{15}=a_{22}$

  $n=7m-6$$n=7m-6$이고, $a_8=0$$a_8=0$이다!!!

규칙을 찾았다!!!!

• $k=4⟶9m-8=22$$k=4\quad \longrightarrow \quad 9m-8=22\quad$불가능

• $k=5⟶11m-10=22$$k=5\quad \longrightarrow \quad 11m-10=22\quad$ 불가능

• $k=6⟶13m-12=22$$k=6\quad \longrightarrow \quad 13m-12=22\quad$ 불가능

• $k=7⟶15m-14=22$$k=7\quad \longrightarrow \quad 15m-14=22\quad$ 불가능

• $k=8⟶17m-16=22$$k=8\quad \longrightarrow \quad 17m-16=22\quad$ 불가능

• $k=9⟶19m-18=22$$k=9\quad \longrightarrow \quad 19m-18=22\quad$ 불가능

• $k=10⟶21m-20=22$$k=10\quad \longrightarrow \quad 21m-20=22\quad$ 가능

  처음으로 $n=22$$n=22$일 때 $0$$0$이 된다.

$\therefore 1+3+10=14$$\therefore~ 1+3+10=14$