2022년도 04월 14번

14. 정수 $k$$k$와 함수

$$\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1& (x<0)\\ \\ x-1& (0\le x<1)\\ \\ 0& (1\le x\le 3)\\ \\ -x+4& (x>3)\end{array}\end{array}$$

에 대하여 함수 $g(x)$$g(x)$를 $g(x)=|f(x-k)|$$g(x)=|f(x-k)|$라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. $k=-3$$k=-3$일 때, $\underset{x\to 0-}{lim}g(x)=g(0)$$\lim\limits_{x\to 0-}g(x)=g(0)$이다.

ㄴ. 함수 $f(x)+g(x)$$f(x)+g(x)$가 $x=0$$x=0$에서 연속이 되도록 하는 정수 $k$$k$가 존재한다.

ㄷ. 함수 $f(x)g(x)$$f(x)g(x)$가 $x=0$$x=0$에서 미분가능하도록 하는 모든 정수 $k$$k$의 값의 합은 $-5$$-5$이다.

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i. 정리

• $g(x)=|f(x-k)|$$g(x)=|f(x-k)|$

  • $y=f(x)$$y=f(x)$를 $x$$x$축으로 $k$$k$만큼 이동
  • 절댓값

ii. ㄱ

• $k=-3$$k=-3$일 때, $\underset{x\to 0-}{lim}g(x)=\underset{x\to 0-}{lim}|f(x+3)|=0$$\lim\limits_{x\to 0-}g(x)=\lim\limits_{x\to 0-} |f(x+3)|=0$
• $g(0)=|f(3)|=0$$g(0)=|f(3)|=0$

$\therefore$$\therefore~$True

iii. ㄴ

• $h(x)=f(x)+g(x)$$h(x)=f(x)+g(x)$라 하자.

• $h(x)$$h(x)$가 $x=0$$x=0$에서 연속이 되는 $k$$k$값을 찾기 위해 계산을 하자!

  $\underset{x\to 0+}{lim}h(x)=-1+\underset{x\to 0+}{lim}|f(x-k)|$$\lim\limits_{x\to 0+}h(x)=-1+\lim\limits_{x\to 0+}|f(x-k)|$

  $\underset{x\to 0-}{lim}h(x)=1+\underset{x\to 0-}{lim}|f(x-k)|$$\lim\limits_{x\to 0-} h(x)=1+\lim\limits_{x\to 0-}|f(x-k)|$

  $h(0)=-1+|f(x-k)|$$h(0)=-1+|f(x-k)|$

• 우선 극한값을 일치시켜보자.

  "좌극한$=$$=$우극한"의 식을 정리하면,

  $\underset{x\to 0+}{lim}|f(x-k)|-\underset{x\to 0-}{lim}|f(x-k)|=2$$\lim\limits_{x\to 0+}|f(x-k)|-\lim\limits_{x\to 0-}|f(x-k)|=2$

  음...? 극한값의 차 또는 뺄셈이 아무튼 $2$$2$가 되어야 한다.

  $k$$k$값은 나중에 생각하고 (어차피 $x$$x$축으로 이동한 함수니까) $|f(x)|$$|f(x)|$을 살펴보고 차이가 2가 나오는 부분이 있는 지 확인하자.

  아...그려야하네...

  

  존재하지 않는다!

$\therefore$$\therefore~$False

iv. ㄷ

• $h(x)=f(x)g(x)$$h(x)=f(x)g(x)$라 하자.

• $x=0$$x=0$에서 미분가능하기 위한 조건은

  • $x=0$$x=0$에서 연속
  • $x=0$$x=0$에서 미분계수가 유일해야 한다.

• $x=0$$x=0$에서 연속부터 확인하자.

  • $\underset{x\to 0+}{lim}h(x)=-\underset{x\to 0+}{lim}|f(x-k)|$$\lim\limits_{x\to 0+} h(x)=-\lim\limits_{x\to 0+}|f(x-k)|$
  • $\underset{x\to 0-}{lim}h(x)=\underset{x\to 0-}{lim}|f(x-k)|$$\lim\limits_{x\to 0-} h(x)=\lim\limits_{x\to 0-}|f(x-k)|$

  $k$$k$는 나중에 생각하고 부호가 바뀌어도 값이 같으려면, $\underset{x\to 0+}{lim}|f(x-k)|=\underset{x\to 0-}{lim}|f(x-k)|=0$$\lim\limits_{x\to 0+}|f(x-k)|=\lim\limits_{x\to 0-}|f(x-k)|=0$ 이어야만 한다.

  이를 만족하는 값을 찾으면,

  $-k=-1,1,2,4⟶k=1,-1,-2,-4$$-k=-1,~1,~2,~4\quad\longrightarrow\quad k=1,~-1,~-2,~-4$

• $x=0$$x=0$에서 미분계수가 유일해야 하는 값을 찾도록 하자.

  $h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$$h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$에서

  • $\underset{x\to 0+}{lim}{h}^{\prime }(x)=\underset{x\to 0+}{lim}|f(x-k)|-\underset{x\to 0+}{lim}|f(x-k){|}^{\prime }$$\lim\limits_{x\to 0+}h'(x)=\lim\limits_{x\to 0+}|f(x-k)|-\lim\limits_{x\to 0+}|f(x-k)|'$
  • $\underset{x\to 0-}{lim}{h}^{\prime }(x)=\underset{x\to 0-}{lim}|f(x-k)|-\underset{x\to 0-}{lim}|f(x-k){|}^{\prime }$$\lim\limits_{x\to 0-}h'(x)=\lim\limits_{x\to 0-}|f(x-k)|-\lim\limits_{x\to 0-}|f(x-k)|'$

  의 값이 동일해야 하고, 이미 연속일 조건에서 살펴보면, $k=1,-2,-4$$k=1,~-2,~-4$일 때에만 가능하다!

$\therefore 1-2-4=-5$$\therefore~ 1-2-4=-5$