2022년 03월 21번

21. 상수 $k$$k$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 좌표평면의 점 $A(a,b)$$A(a,~b)$가 오직 하나 존재한다.

(가) 점 A는 곡선 $y={\log }_2(x+2)+k$$y=\log_2 (x+2)+k$ 위의 접이다.

(나) 점 A를 직선 $y=x$$y=x$에 대하여 대칭이동한 점은 곡선 $y=4^{x+k}+2$$y=4^{x+k}+2$ 위에 있다.

$a\times b$$a\times b$의 값을 구하시오. (단, $a\ne b$$a\neq b$)

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i. 정리

• $A(a,b)$$A(a,~b)$

  $b={\log }_2(a+2)+k$$b=\log_2 (a+2)+k$

• $A^{\prime }(b,a)$$A'(b,~a)$

  $a=4^{b+k}+2$$a=4^{b+k}+2$

$a\times b=?$$a\times b=?$

ii. 생각

• 로그보다는 지수가 다루기 편하지. 아무렴!

  $2^{b-k}=a+2$$2^{b-k} =a+2$

  $a=4^{b+k}+2$$a=4^{b+k}+2$

• 그냥 $k$$k$는 상수로 보고 정리하자. ($k$$k$만 따로 빼서 정리하기가...)

  $2^{b-k}=a+2=4^{b+k}+4$$2^{b-k}=a+2=4^{b+k}+4$

  $\frac{1}{2^k}{2}^b=2^{2k}{2}^{2b}+4$$\cfrac 1{2^k}2^b =2^{2k}2^{2b}+4$

  오? $2^b=t>0$$2^b=t>0$으로 치환하면, $t$$t$에 대한 이차방정식이네?

  $2^{3k}{t}^2-t+4\cdot 2^k=0$$2^{3k}t^2 -t+4\cdot 2^k=0$

  • 점 $A$$A$는 유일하다. 그리고 근과 계수와의 관계를 따져보면 $t$$t$에 대한 두 근의 합과 곱은 양수이다? 뭐 그럼 당연히 $t$$t$는 중근이어야 한다.

    $D=1-4\cdot 2^{3k}\cdot 4\cdot 2^k=0$$D=1-4\cdot 2^{3k}\cdot 4\cdot 2^{k}=0$

    $\therefore k=-1$$\therefore~k=-1$

iii. 계산

$t=4⟶2^b=4⟶b=2$$t=4\quad \longrightarrow \quad 2^b=4\quad \longrightarrow\quad b=2$

$\therefore a=6$$\therefore~a=6$

$\therefore a\times b=12$$\therefore~a\times b=12$