2022학년도 11월 21번

21. 수열 $\{a_n\}$$\big\{a_n\big\}$이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $|a_1|=2$$\big|a_1\big|=2$

(나) 모든 자연수 $n$$n$에 대하여 $|a_{n+1}|=2|a_n|$$\big|a_{n+1}\big| =2\big|a_n\big|$

(다) $\sum _{n=1}^{10}{a}_n=-14$$\sum\limits_{n=1}^{10}a_n=-14$

$a_1+a_3+a_5+a_7+a_9$$a_1+a_3+a_5+a_7+a_9$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $|a_n|=2^n$$\big|a_n \big| =2^n$

• $\sum _{n=1}^{10}{a}_n=-14$$\sum\limits_{n=1}^{10}a_n=-14$

  어랏? 골치아파 보이는데?

ii. 생각

• 암담하다.
• 수열은 항상 규칙으로 이루어져 있다. 그럼? 규칙을 찾아봐야겠다.

iii. 규칙 찾기

우선 계산하기 껄끄럽지 않은 4번째항까지 써보자.

$2,4,8,16$$2,~4,~8,~16$

부호가 어찌될지 모르지만 막 이것저것 해보자. 그런데, 그간 수열에 대해 배우면서 중요한 것은 보통 연속된 항끼리의 관계이다.

다만 이 문제는 $\sum$$\sum$가 있으니까..어디 앞의 3항과 4항을 볼까?

$(2+4+8),16$$(2+4+8),~16$

어? 두 수의 차가 $2$$2$이다. 혹시 이런 규칙이 계속 성립하나? (물론 공식으로 확인해도 되는데 귀찮아....)

$(2+4+8+16),32$$(2+4+8+16),~32$

오호~ 역시 두 수의 차는 $2$$2$이다.

아마 이 규칙을 가지고 잘 장난치면 답이 나올 듯 하다?

iv. 풀자.

$(2+4+8+\cdots +512),-1024$$(2+4+8+\cdots +512),~-1024$

이면, $-2$$-2$가 나온다. 그럼 앞의 수들 중에서 몇개만 부호가 바뀌면 된다!!!

만약에 $8$$8$ 대신 $-8$$-8$이면 어떻게 될까? 최종 계산은 그 두 배인 $-16$$-16$이 되고 최종 계산 결과는 $-18$$-18$이 될 것이다.

아하!

그럼 두 개의 항의 합이 $6$$6$이 되면 되겠다.

$a_1=-2,a_2=-4,a_{10}=-1024$$a_1=-2,~a_2=-4,~a_{10}=-1024$면 되겠네.

$\therefore -2+8+32+128+512=678$$\therefore~-2+8+32+128+512=678$