2022학년도 11월 14번

14. 수직선 위를 움직이는 점 $P$$P$의 시각 $t$$t$에서의 위치 $x(t)$$x(t)$가 두 상수 $a,b$$a,~b$에 대하여

$$x(t)=t(t-1)(at+b)(a\ne 0)$$

이다. 점 $P$$P$의 시각 $t$$t$에서의 속도 $v(t)$$v(t)$가 $\begin{array}{r}{\int }_0^1|v(t)|dt=2\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^1 \big|v(t)\big|dt=2\end{aligned}$를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.

ㄱ. $\begin{array}{r}{\int }_0^{1}v(t)dt=0\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^1 v(t)dt=0\end{aligned}$

ㄴ. $|x(t_1)|>1$$\big|x(t_1)\big|>1$인 $t_1$$t_1$이 열린 구간 $(0,1)$$(0,~1)$에 존재한다.

ㄷ. $0\le t\le 1$$0\le t\le 1$인 모든 $t$$t$에 대하여 $|x(t)|<1$$\big|x(t)\big|<1$이면 $x(t_2)=0$$x(t_2)=0$인 $t_2$$t_2$가 열린 구간 $(0,1)$$(0,~1)$에 존재한다.

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왜 15번이 아니라 14번이냐고?

빈칸 채우기는 글로 쓰기가 참 애매하고, 또한 풀기도 싫다. 그냥 순서대로 따라가면 다 나오는 건데?

i. 정리

• $\begin{array}{r}{\int }_0^{1}v(t)dt\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^1 v(t)dt\end{aligned}$와 $\begin{array}{r}{\int }_0^1|v(t)|dt\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^1 |v(t)| dt\end{aligned}$의 차이는?

  위치와 이동 거리

  따라서, $\begin{array}{r}{\int }_0^1|v(t)|dt=2\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^1 |v(t)| dt=2\end{aligned}$는 $2$$2$의 거리를 움직였다는 것이다.

ii. ㄱ

• $x(0)=0$$x(0)=0$
• $x(1)=0$$x(1)=0$

뭐야 이거? 초기 위치는 원점. 시각 $1$$1$일 때의 위치도 원점

$a,b$$a,~b$ 값에 따라 움직이지만 시각 $0$$0$에서는 원점. 시각 $1$$1$에서도 원점이다.

True

iii. ㄴ

뭐야 이거?

시각 $0$$0$과 $1$$1$사이에 원점과의 거리가 $1$$1$보다 크면 움직이느 거리는 $2$$2$보다 커질텐데? 당연히 틀렸지.

False

iv. ㄷ

어랏? 무슨 문제가...이따구지...?

전체 움직인 거리는 $2$$2$가 되야 하는데, $0\le t\le 1$$0\le t\le 1$에서 위치가 $1$$1$이 되지 못하면 당연히 최도한 한 번은 더 지나야하잖아....

True