2021년 10월 21번

21. $\overline{AB}=6,\overline{AC}=8$$\overline{AB}=6,~\overline{AC}=8$인 예각삼각형 $ABC$$ABC$에서 $\mathrm{\angle }A$$\angle A$의 이등분선과 삼각형 $ABC$$ABC$의 외접원이 만나는 점을 $D$$D$, 점 $D$$D$에서 선분 $AC$$AC$에 내린 수선의 발을 $E$$E$라 하자. 선분 $AE$$AE$의 길이를 $k$$k$라 할 때, $12k$$12k$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• 원주각$⟶$$\quad\longrightarrow\quad$보조선
• 삼각형의 각의 이등분선$⟶$$\quad\longrightarrow\quad$길이의 비

$\overline{AD}$$\overline{AD}$와 $\overline{BC}$$\overline{BC}$의 교점을 $F$$F$라 하자.

ii. 생각

• $k=\overline{AD}\cos \bullet$$k=\overline{AD}\cos \bullet$
• $\mathrm{△}BCD$$\triangle BCD$는 $\overline{BD}=\overline{CD}$$\overline{BD}=\overline{CD}$인 이등변삼각형이다!
• $\overline{AB}:\overline{AC}=\overline{BF}:\overline{FC}$$\overline{AB}:\overline{AC}=\overline{BF}:\overline{FC}$

 

1. $\mathrm{△}ABD$$\triangle ABD$와 $\mathrm{△}ADE$$\triangle ADE$에 대해서 $\cos$$\cos$ 제$2$$2$법칙을 사용할 수 있다.

   $\overline{BD}=\overline{CD}=a$$\overline{BD}=\overline{CD}=a$라 하면,

   $a^2=6^2+{\overline{AD}}^2-2\cdot 6\cdot \overline{AD}\cos \bullet$$a^2 =6^2+\overline{AD}^2 -2\cdot 6\cdot \overline{AD}\cos\bullet$

   $a^2=8^2+{\overline{AD}}^2-2\cdot 8\overline{AD}\cos \bullet$$a^2=8^2 +\overline{AD}^2 -2\cdot 8\overline{AD}\cos \bullet$

   오! 깔끔하게 사라지네.. 각의 이등분선은 쓸 일이 없네..

4$\overline{AD}\cos \bullet =28$$\overline{AD}\cos\bullet =28$

$\therefore k=7$$\therefore~k=7$

$\therefore 12k=84$$\therefore~12k=84$