2021년 10월 15번

15. 최고차항의 계수가 $4$$4$이고 $f(0)=f^{\prime }(0)=0$$f(0)=f'(0)=0$을 만족시키는 삼차함수 $f(x)$$f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$$g(x)$를

$$\begin{array}{c}g(x)=\{\begin{array}{ll}\begin{array}{r}{\int }_0^{x}f(t)dt+5\end{array}& (x<c)\\ \\ |\begin{array}{r}{\int }_0^{x}f(t)dt-\frac{13}{3}\end{array}|& (x\ge c)\end{array}\end{array}$$

라 하자. 함수 $g(x)$$g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 $c$$c$의 개수가 $1$$1$일 때, $g(1)$$g(1)$의 최댓값을 구하시오.

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i. 정리

• $f(x)=4x^3+\sim$$f(x)=4x^3+\sim$

  • $f(0)=f^{\prime }(0)=0⟶f(x)=x^2(4x-a)=4x^3-a{x}^2$$f(0)=f'(0)=0\quad\longrightarrow\quad f(x)=x^2 (4x-a)=4x^3-ax^2$

• $g(x)=$$g(x)=$블라블라

• $g(x)$$g(x)$를 연속으로 만드는 실수 $c$$c$의 개수는 $1$$1$개이다.

ii. 생각

• $\begin{array}{r}h(x)={\int }_0^{x}f(t)dt\end{array}$$\begin{aligned} h(x)=\int_0^x f(t)dt\end{aligned}$이라 하면,

  계산상의 편의를 위해 $f(x)=x^2(4x-3a)$$f(x)=x^2(4x-3a)$라 하자.

   

  $\begin{array}{rl}h(x)& =x^4-a{x}^3\\ \\ & =x^3(x-a)\end{array}$$\begin{aligned} h(x)&=x^4-ax^3\\ \\ &= x^3 (x-a)\end{aligned}$

• $\begin{array}{c}g(x)=\{\begin{array}{ll}h(x)+5& (x<c)\\ \\ |h(x)-\frac{13}{3}|& (x\ge c)\end{array}\end{array}$$g(x)=\begin{cases} h(x)+5 &(x<c)\\ \\ |h(x)-\cfrac{13}3|&(x\ge c)\end{cases}$

아무래도 그래프를 그려 볼 타임이다!

어? $y=h(x)+5$$y=h(x)+5$와 $y=|h(x)-\frac{13}{3}|$$y=|h(x)-\cfrac {13}3|$을 겹쳐 그려서 교점이 하나일 때를 찾으면 되겠다!

이 상황에서 교점이 오직 유일하기 위해서는, $y=h(x)+5$$y=h(x)+5$의 극솟값과 $|h(x)-\frac{13}{3}|$$|h(x)-\cfrac {13}3|$의 극댓값이 일치하면 된다!

iii. 계산

$h(\frac{3}{4}a)+5=-h(\frac{3}{4}a)+\frac{13}{3}$$h\big(\cfrac 34 a\big)+5=-h\big(\cfrac 34 a\big)+\cfrac {13}3$

계산 생략

$a=\pm \frac{4}{3}$$a=\pm \cfrac 43$

$\{\begin{array}{l}a=\frac{4}{3}⟶c=1⟶g(1)=\frac{14}{3}\\ \\ a=-\frac{4}{3}⟶c=-1⟶g(1)=2\end{array}$$\begin{cases} a=\cfrac 43\quad\longrightarrow\quad c=1\quad \longrightarrow\quad g(1)=\cfrac{14}3\\ \\ a= -\cfrac 43 \quad \longrightarrow\quad c=-1\quad \longrightarrow\quad g(1)=2\end{cases}$

$\therefore maxg(1)=\frac{14}{3}$$\therefore~\max~g(1)=\cfrac {14}3$