2022학년도 09월 15번

15. 수열 $\{a_n\}$$\big\{a_n\big\}$은 $|a_1|\le 1$$|a_1|\le 1$이고, 모든 자연수 $n$$n$에 대하여

$$\begin{array}{c}{a}_{n+1}=\{\begin{array}{ll}-2a_n-2& (-1\le a_n<-\frac{1}{2})\\ \\ 2a_n& (-\frac{1}{2}\le a_n\le \frac{1}{2})\\ \\ -2a_n+2& (\frac{1}{2}<a_n\le 1)\end{array}\end{array}$$

을 만족시킨다. $a_5+a_6=0$$a_5 +a_6=0$이고 $\sum _{k=1}^5{a}_k>0$$\sum\limits_{k=1}^5 a_k >0$이 되도록 하는 모든 $a_1$$a_1$의 값의 합을 구하시오.

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i. 정리

• $-1\le a_n\le 1$$-1\le a_n\le 1$
• $a_6=-a_5$$a_6=-a_5$
• 수열문제$⟶$$\quad\longrightarrow\quad$규칙 찾기! (어떻게든 어떻게든 규칙을 뽑아내자.)

ii. 생각

• $a_6=-a_5$$a_6=-a_5$를 이용하여 거꾸로 계산을 하면...

  어? 이거 경우의 수가 무지하게 나올 거 같은데???????

  어떻게든 규칙을 찾도록 하자!!

iii. $a_5=?$$a_5=?$

$\begin{array}{c}-a_5=\{\begin{array}{l}-2a_5-2\\ \\ 2a_5\\ \\ -2a_5+2\end{array}\end{array}$$-a_5 =\begin{cases} -2a_5 -2 \\ \\ 2a_5 \\ \\ -2a_5 +2 \end{cases}\quad\quad$조건에 맞는 경우는 $a_5=0$$a_5=0$ 뿐이다. 다행이다!!!

iv. $a_4=?$$a_4=?$

• 주어진 식을 토대로 계산 과정을 거치면, $\begin{array}{c}{a}_4=\{\begin{array}{l}-1\\ \\ 0\\ \\ 1\end{array}\end{array}$$a_4=\begin{cases} -1 \\ \\ 0 \\ \\ 1 \end{cases}$

• 규칙이다!!! $\begin{array}{c}0\to \{\begin{array}{l}-1\\ 0\\ 1\end{array}\end{array}$$0\rightarrow\begin{cases} -1\\ 0 \\ 1\end{cases}$

• $-1⇝?$$-1\leadsto ?$

  $-1⟶-\frac{1}{2}$$-1\longrightarrow -\cfrac 12$

• $1⇝?$$1\leadsto ?$

  $1⟶\frac{1}{2}$$1\longrightarrow \cfrac 12$

한 번 정리하고 가자.

$\begin{array}{c}0⟶\{\begin{array}{l}-1⟶-\frac{1}{2}\\ \\ 0⟶\{\begin{array}{l}-1⟶-\frac{1}{2}\\ \\ 0⟶\{\begin{array}{l}-1⟶-\frac{1}{2}\\ \\ 0⟶\{\begin{array}{l}-1\\ \\ 0\\ \\ 1\end{array}\\ \\ 1⟶\frac{1}{2}\end{array}\\ \\ 1⟶\frac{1}{2}\end{array}\\ \\ 1⟶\frac{1}{2}\end{array}\end{array}$$0\longrightarrow \begin{cases} -1 \longrightarrow -\cfrac12 \\ \\ 0\longrightarrow\begin{cases} -1 \longrightarrow -\cfrac 12\\ \\ 0\longrightarrow \begin{cases} -1 \longrightarrow -\cfrac 12\\ \\ 0\longrightarrow\begin{cases} -1 \\ \\ 0 \\ \\ 1\end{cases} \\ \\ 1\longrightarrow \cfrac 12 \end{cases}\\ \\ 1\longrightarrow \cfrac 12\end{cases} \\ \\ 1\longrightarrow \cfrac 12\end{cases}$

야이.....

그래도 알 수 있는 건 다행히도 $\frac{1}{2}$$\cfrac 12$에 대해 계산을 두 번만 하면 될 듯 하다?

v. 또 계산하자.

• $\frac{1}{2}⇝?$$\cfrac 12 \leadsto ?$

  $\begin{array}{c}\frac{1}{2}⟶\{\begin{array}{l}\frac{1}{4}⟶\{\begin{array}{l}\frac{1}{8}\\ \\ \frac{7}{8}\end{array}\\ \\ \frac{3}{4}⟶\{\begin{array}{l}\frac{3}{8}\\ \\ \frac{5}{8}\end{array}\end{array}\end{array}$$\cfrac 12 \longrightarrow\begin{cases} \cfrac 14\longrightarrow\begin{cases} \cfrac 18 \\ \\ \cfrac 78 \end{cases} \\ \\ \cfrac 34\longrightarrow\begin{cases} \cfrac 38 \\ \\ \cfrac 58 \end{cases} \end{cases}$

계산을 생략해서 그렇지..이거 문제가 어려운 게 아니라 단순 계산을 무척이나 시키네... 구몬수학을 해야하나...?

vi. 마지막 계산

이를 토대로 조건을 만족시키는 $a_1$$a_1$을 찾으면,

$1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{8},\frac{7}{8},\frac{3}{8},\frac{5}{8}$$1,~\cfrac 12,~\cfrac 14,~\cfrac 34,~\cfrac 18,~\cfrac 78,~\cfrac 38,~\cfrac 58$

다 더하면?

$1+1+1+1+\frac{1}{2}$$1+1+1+1+\cfrac 12$

$\therefore \frac{9}{2}$$\therefore~\cfrac 92$

더....럽....다....