2021년 07월 22번

22. 삼차함수 $f(x)=\frac{2\sqrt{3}}{3}x(x-3)(x+3)$$f(x)=\cfrac {2\sqrt 3}3 x(x-3)(x+3)$에 대하여 $x\ge -3$$x\ge -3$에서 정의된 함수 $g(x)$$g(x)$는

$$\begin{array}{c}g(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& (-3\le x<3)\\ \\ \frac{1}{k+1}f(x-6k)& (6k-3)\le x<6k+3)\end{array}\end{array}$$

이다. 자연수 $n$$n$에 대하여 직선 $y=n$$y=n$과 함수 $y=g(x)$$y=g(x)$의 그래프가 만나는 점의 개수를 $a_n$$a_n$이라 할 때, $\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{12}{a}_n\end{array}$$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{12}a_{n}\end{aligned}$의 값을 구하시오.

---

i. 정리

• $f(x)=\frac{2\sqrt{3}}{3}x(x-3)(x+3)$$f(x)=\cfrac {2\sqrt 3}3 x(x-3)(x+3)$

• $\begin{array}{c}g(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& (-3\le x<3)\\ \\ \frac{1}{k+1}f(x-6k)& (6k-3)\le x<6k+3)\end{array}\end{array}$$g(x)=\begin{cases} f(x)&(-3\le x<3)\\ \\ \cfrac 1{k+1}f(x-6k)&(6k-3)\le x <6k+3)\end{cases}$

  규칙이 존재할 거 같다?

• $n\in \mathbb{N},a_n$$n\in\mathbb N,~a_n$은 $y=n$$y=n$과 $y=g(x)$$y=g(x)$의 교점의 개수

• $\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{12}{a}_n\end{array}=?$$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{12}a_n\end{aligned} =?$

ii. $a_n$$a_n$을 찾기 위해서는 $y=g(x)$$y=g(x)$의 규칙을 찾아야한다.

• $\frac{1}{k+1}f(x-6k)(6k-3\le x<6k+3)$$\cfrac 1{k+1}f(x-6k)\quad\quad\quad (6k-3\le x<6k+3)$

  규칙을 찾기 위해 대입하자. ㅎㅎㅎ

  • $k=1$$k=1$

    $\frac{1}{2}f(x-6)(3\le x<9)$$\cfrac 12 f(x-6)\quad (3\le x<9)$

  • $k=2$$k=2$

    $\frac{1}{3}f(x-12)(9\le x<15)$$\cfrac 13 f(x-12)\quad (9\le x <15)$

  깔끔하게 보인다?

  • 극값은 $\frac{1}{k+1}$$\cfrac 1{k+1}$ 배
  • $x$$x$ 축으로 $6$$6$의 구간만큼

• $y=n$$y=n$ 과 $y=g(x)$$y=g(x)$의 교점은 극댓값만 비교하면 된다!

iii. 계산

• $y=f(x)(-3\le x<3)$$y=f(x)\quad (-3\le x<3)$에서의 극댓값

  $f^{\prime }(x)=2\sqrt{3}(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$$f'(x)=2\sqrt 3(x+\sqrt 3)(x-\sqrt 3)$

  $\therefore f^{\prime }(-\sqrt{3})=12$$\therefore~f'(-\sqrt 3)=12$

• 편의상 $c_k$$c_k$는 $(6k-3\le x<6k+3)$$(6k-3\le x<6k+3)$에서 $g(x)$$g(x)$의 최댓값이라 하면,

  $c_0=12$$c_0=12$ (편의상 초기값)

  $c_1=6$$c_1=6$

  $c_2=4$$c_2=4$

  $c_3=3$$c_3=3$

  $c_4=2\frac{2}{5}$$c_4=2\cfrac 25$

  $c_5=2$$c_5=2$

  $c_6=1\frac{5}{7}$$c_6=1\cfrac 57$

  $c_7=1\frac{1}{2}$$c_7=1\cfrac 12$

  $⋮$$\vdots$

  $c_{11}=1$$c_{11}=1$

  $c_{12}=\frac{12}{13}$$c_{12}=\cfrac{12}{13}$

• 이를 이용하여 $a_n$$a_n$을 구하면, (특이점은 $c_1,c_2,c_3,c_5,c_{11}$$c_1,~c_2,~c_3,~c_5,~c_{11}$ 이때에는 $y=n$$y=n$일 때 교점이 한 개만 발생한다. 그 외에는 2개씩 발생)

  

  $a_1=23$$a_1=23$

  $a_2=11$$a_2=11$

  $a_3=7$$a_3=7$

  $a_4=5$$a_4=5$

  $a_5=4$$a_5=4$

  $a_6=3$$a_6=3$

  $a_7\sim a_{11}=2$$a_7\sim a_{11}=2$

  $a_{12}=1$$a_{12}=1$

$\therefore \begin{array}{r}\sum _{n=1}^{12}{a}_n=64\end{array}$$\therefore~\begin{aligned} \sum_{n=1}^{12}a_n=64\end{aligned}$