2021년 07월 21번

21. 공차가 $d$$d$이고 모든 항이 자연수인 등차수열 $\{a_n\}$$\big\{a_n\big\}$이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $a_1\le d$$a_1\le d$

(나) 어떤 자연수 $k(k\ge 3)$$k~(k\ge 3)$에 대하여 세 항 $a_2,a_k,a_{3k-1}$$a_2,~a_k,~a_{3k-1}$이 순서대로 등비수열을 이룬다.

$90\le a_{16}\le 100$$90\le a_{16}\le 100$일 때, $a_{20}$$a_{20}$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $a_n=a_1+(n-1)d{a}_1,d\in \mathbb{N}$$a_n=a_1 +(n-1)d\quad a_1,~d\in\mathbb N$
• $a_1\le d$$a_1\le d$
• 어떤 $k\ge 3⟶a_2,a_k,a_{3k-1}$$k\ge 3\quad \longrightarrow\quad a_2 ,~a_k,~a_{3k-1}$ 등비수열

ii. 할 수 있는 것을 하자.

• 등비수열

  $\frac{a_k}{a_2}=\frac{a_{3k-1}}{a_k}⟶(a_k{)}^2=a_2\cdot a_{3k-1}$$\cfrac{a_k}{a_2} =\cfrac {a_{3k-1}}{a_k}\quad\longrightarrow\quad (a_k)^2 =a_2\cdot a_{3k-1}$

  어떻게든 관계식을 뽑아내기 위해 등차수열인 것을 이용하자.

  • $a_2=a_1+d$$a_2=a_1+d$
  • $a_k=a_1+(k-1)d$$a_k=a_1+(k-1)d$
  • $a_{3k-1}=a_1+(3k-2)d$$a_{3k-1}=a_1 +(3k-2)d$

  를 대입하여 계산하면,

  $2(k-1)a_{1}d+(k-1{)}^2{d}^2=(3k-1)a_{1}d+(3k-2)d^2$$2(k-1)a_1d +(k-1)^2 d^2 =(3k-1)a_1d +(3k-2)d^2$

  이고, $d\ne 0$$d\neq 0$ 이므로,

  $2(k-1)a_1+(k-1{)}^{2}d=(3k-1)a_1+(3k-2)d$$2(k-1)a_1 +(k-1)^2 d =(3k-1)a_1 +(3k-2)d$

  계속 계산을 하면,

  $a_1=\frac{k^2-5k+3}{k+1}d$$a_1 =\cfrac {k^2 -5k+3}{k+1}d$

• $a_1\le d$$a_1 \le d$를 이용하자.

  $0<\frac{k^2-5k+3}{k+1}\le 1\mathrm{\&}k\ge 3$$0<\cfrac {k^2 -5k+3}{k+1} \le 1\quad \&\quad k\ge 3$

  $k^2-6k+2\le 0$$k^2 -6k+2\le 0$

  $3\le k\le 3+\sqrt{7}$$3\le k \le 3+\sqrt 7$

  $\therefore k=3,4,5(0<\frac{k^2-5k+3}{k+1}$$\therefore~k=3,~4,~5 \quad (0<\cfrac{k^2-5k+3}{k+1}$도 풀어야 하지만, 그냥 대입이 빠를 듯 하다.)

  대입을 해 보면, $k=5$$k=5$일 때에만 성립

• $k=5$$k=5$을 대입하면,

  $a_1=\frac{1}{2}d$$a_1=\cfrac 12d$

  $a_{16}=a_1+15d=\frac{31}{2}d$$a_{16}=a_1+15d=\cfrac {31}2d$

  $90\le \frac{31}{2}d\le 100$$90\le \cfrac {31}2d\le 100$

  $\therefore d=6$$\therefore~d=6$

  $a_1=3$$a_1=3$

$\therefore a_{20}=3+19\times 6=3+114=117$$\therefore~a_{20} =3+19\times 6 =3+114=117$