2022학년도 06월 22번

22. 삼차함수 $f(x)$$f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 $f(x)=0$$f(x)=0$의 서로 다른 실근의 개수는 $2$$2$이다.

(나) 방정식 $f(x-f(x))=0$$f\big(x-f(x)\big)=0$의 서로 다른 실근의 개수는 $3$$3$이다.

$f(1)=4,f^{\prime }(1)=1,f^{\prime }(0)>1$$f(1)=4,~f'(1)=1,~f'(0)>1$일 때, $f(0)=\frac{q}{p}$$f(0)=\cfrac qp$이다. $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 정리

• $f(x)=a(x-\alpha )(x-\beta {)}^{2}a\in \mathbb{R}$$f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)^2\quad a\in\mathbb R$
• $f(x-f(x))=0$$f\big(x-f(x)\big)=0$ 의 서로 다른 실근의 개수 $3$$3$
• $f(1)=4,f^{\prime }(1)=1,f^{\prime }(0)>1$$f(1)=4,~f'(1)=1,~f'(0)>1$
• $f(0)=?$$f(0)=?$

ii. 생각하자.

• $\begin{array}{c}x-f(x)=\{\begin{array}{l}\alpha \\ \\ \beta \end{array}⟶f(x)=\{\begin{array}{l}x-\alpha \\ \\ x-\beta \end{array}\end{array}$$x-f(x)=\begin{cases} \alpha \\ \\ \beta \end{cases}\quad \longrightarrow\quad f(x)=\begin{cases} x-\alpha \\ \\ x-\beta \end{cases}$

$y=f(x)$$y=f(x)$의 그래프와 $\{\begin{array}{l}y=x-\alpha \\ \\ y=x-\beta \end{array}$$\begin{cases} y=x-\alpha \\ \\ y=x-\beta \end{cases}$ 의 교점이 3개가 나와야 한다. 그럼 어떻게 풀까?

우선 이 문제는 분명히 미적분 문제이다! 그럼,

미분을 막 하고 싶어지지 않은가? 적분은 왜 안 하냐구? 적분 구간이라던가 적분 관련 조건은 없으니까!

미적분 문제잖아?

그럼 미분하자.

$1-f^{\prime }(x)=0$$1-f'(x)=0$

어? 이를 만족하는 $x$$x$ 값을 찾아야하는데, 이미 조건에서

$f^{\prime }(1)=1$$f'(1)=1$

$x=1$$x=1$을 대입하면,

$f(1-f(1))=f(-3)=0$$f\big(1-f(1))=f(-3)=0$

$⟶\alpha =-3$$\longrightarrow\quad \alpha =-3$ or $\beta =-3$$\beta =-3$

• 이제 그래프를 그리자!

• $a>0$$a>0$인 경우

  

  귀찮으니 그래프 하나에 $4$$4$가지의 경우를 생각하자.

  어?

  $f(x)=0$$f(x)=0$의 두 근을 지나는 직선 $y=x-\alpha ,y=x-\beta$$y=x-\alpha,~y=x-\beta$ 를 그려봐도 조건을 만족시키는 경우는 존재하지 않는다!

• $a<0$$a<0$

  

  오...

  

  이런 경우면 조건을 만족한다.

  $f(x)=a(x+3{)}^2(x-\alpha )$$f(x)=a(x+3)^2 (x-\alpha)$ 의 형태이고, $y=x+3$$y=x+3$인 경우이다! 이때, $f(x)=x+3$$f(x)=x+3$의 교점은 $(-3,0),(1,4)$$(-3,0),~(1,~4)$ 두 점에서 교점이 만들어지고, $f(x)=x-\alpha$$f(x)=x-\alpha$에서 교점이 하나만 나오면 된다. 물론 그 교점의 좌표는 오직 $(\alpha ,0)$$(\alpha,~0)$일 것이다.

   

  $f^{\prime }(0)>1$$f'(0)>1$은 확신할 수 없지만(그래프 개형상으로는 $f^{\prime }(0)>0$$f'(0)>0$ 만 확인 가능), 뭐 이건 $a$$a$값이 두개 나오면 살펴보면 될 일이다.

  이를 토대로 $f(x)$$f(x)$를 구해보면,

  $f(x)-x-3=a(x+3{)}^2(x-1)$$f(x)-x-3=a(x+3)^2 (x-1)$

  $f^{\prime }(-3)=0$$f'(-3)=0$을 이용하면, $a=-\frac{1}{16}$$a=-\cfrac 1{16}$

$\therefore f(0)=\frac{45}{16}$$\therefore~f(0)=\cfrac {45}{16}$

$\therefore p+q=61$$\therefore~p+q=61$