2021년 04월 22번

22. 실수 $a$$a$에 대하여 두 함수 $f(x),g(x)$$f(x), g(x)$를

$$f(x)=3x+a,g(x)={\int }_2^x(t+a)f(t)dt$$

라 하자. 함수 $h(x)=f(x)g(x)$$h(x)=f(x)g(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $h(-1)$$h(-1)$의 최솟값은 $\frac{q}{p}$$\cfrac qp$이다. $p+q$$p+q$의 값을 구하시오.

(가) 곡선 $y=h(x)$$y=h(x)$ 위의 어떤 점에서의 접선이 $x$$x$축이다.

(나) 곡선 $y=|h(x)|$$y=|h(x)|$가 $x$$x$ 축에 평행한 직선과 만나는 서로 다른 점의 개수의 최댓값은 $4$$4$이다.

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i. 정리

• $f(x)=3x+a$$f(x)=3x+a$
• $\begin{array}{r}g(x)={\int }_2^x(t+a)f(t)dt\end{array}$$\begin{aligned} g(x)=\int_2^x (t+a)f(t)dt\end{aligned} \quad$ (계산 가능)
• $h(x)=f(x)g(x)⟶h(-1)min?$$h(x)=f(x)g(x)\quad \longrightarrow\quad h(-1)~ min ~?$
• $y=h(x)$$y=h(x)$ 어떤 극값은 $x$$x$ 축 위에 있다. ($h(x)=0$$h(x)=0$은 최소한 중근 한개를 갖거나 삼중근을 갖는다!)
• $y=|h(x)|$$y=|h(x)|$ $x$$x$ 축에 평행한 직선과의 교점의 최댓값은 $4$$4$

ii. 생각 좀 하자.

• 어떤 그래프 개형이 가능할까?

  • 그럼 이 중에서 특이한 사항이 있을까?

• $g(x)$$g(x)$를 계산하여 $h(x)$$h(x)$를 구할 수 있다.

iii. $h(x)$$h(x)$는 어떤 개형일 때 가능할까?

하나의 경우를 제외하면 다 가능해버리니 아직까지는 딱히 모르겠다.

iv. $h(x)$$h(x)$를 구하자.

• $g(x)$$g(x)$를 계산하자.

  $\begin{array}{rl}g(x)& ={\int }_2^x(t+a)(3t+a)dt\\ \\ & ={\int }_2^x(3t^2+4at+a^2)dt\\ \\ & =x^3+2a{x}^2+a^{2}x-8-8a-2a^2\end{array}$$\begin{aligned} g(x)&=\int_2^x (t+a)(3t+a)dt\\ \\ &=\int_2^x (3t^2 +4at+a^2)dt\\ \\ &=x^3+2ax^2 +a^2 x-8-8a -2a^2 \end{aligned}$

  어? 왠지 인수분해가 될 거 같은데? 안되면...그때 가서 생각하자.

  $(x-2)a^2+2(x^2-4)a+(x^3-8)$$(x-2)a^2 +2(x^2 -4)a+(x^3-8)$

  된다!!!

  계산하면, (계산 생략)

  $g(x)=(x-2)\{x^2+2(a+1)x+(a+2{)}^2\}$$g(x)=(x-2)\big\{x^2 +2(a+1)x+(a+2)^2\big\}$

  혹시 모르니 이차식 부분의 판별식을 좀 살펴볼까?

  $\begin{array}{rl}D/4& =(a+1{)}^2-(a+2{)}^2\\ \\ & =a^2+2a+1-a^2-4a-4\\ \\ & =-2a-3\end{array}$$\begin{aligned} D/4&= (a+1)^2 -(a+2)^2 \\ \\ &= a^2 +2a+1-a^2 -4a -4 \\ \\ &=-2a-3 \end{aligned}$

  흠...쓸 때가 오겠지....? 아마?

$\therefore h(x)=(3x+a)(x-2)\{x^2+2(a+1)x+(a+2{)}^2\}$$\therefore~h(x)=(3x+a)(x-2)\big\{ x^2 +2(a+1)x +(a+2)^2 \big\}$

v. 우선 중근인 경우를 살펴보자.

i. $x=2$$x=2$로 중근이 될 때,

i. $3x+a=0$$3x+a=0$의 근이 $x=2$$x=2$라 하면,

$h(x)=3(x-2{)}^2(x^2-10x+16)$$h(x)=3(x-2)^2(x^2-10x+16)$

어?

$h(x)=3(x-2{)}^2(x-8)$$h(x)=3(x-2)^2(x-8)$

삼중근이네? 모든 조건을 만족시키니까 $h(-1)$$h(-1)$을 구하자.

$\therefore h(-1)=729$$\therefore~h(-1)=729$

ii. $x^2+2(a+1)x+(a+2{)}^2=0$$x^2 +2(a+1)x +(a+2)^2=0$의 한 근이 $x=2$$x=2$라 하면, (해보나 마나겠지만...)

$4+4a+4+a^2+4a+4=a^2+8a+12=0$$4+4a+4+a^2+4a+4=a^2+8a+12=0$

$(a+2)(a+6)=0$$(a+2)(a+6)=0$

$a=-6$$a=-6$은 위의 경우와 같고

$a=-2$$a=-2$이면,

$h(x)=(3x-2)(x-2{)}^{2}x$$h(x)=(3x-2)(x-2)^2 x$

그래프 개형 중 유일하게 조건을 만족시키지 못하는 경우다.

ii. $x^2+2(a+1)x+(a+2{)}^2=0$$x^2 +2(a+1)x +(a+2)^2=0$이 중근을 가진다면?

위에서 $D/4=-2a-3$$D/4=-2a-3$이었다.

$\therefore a=-\frac{3}{2}$$\therefore~a=-\cfrac 32$

계산하면, $h(x)=3(x-\frac{1}{2}{)}^3(x-2)$$h(x)=3(x-\cfrac 12 )^3 (x-2)$

헐... 그냥 삼중근으로 나온다..

$\therefore h(-1)=\frac{243}{8}$$\therefore~h(-1)=\cfrac{243}8$

iii. 최솟값을 구하면,

$h(-1)=\frac{243}{8}$$h(-1)=\cfrac {243}8$

$\therefore p+q=251$$\therefore~p+q=251$