2022학년도 06월 15번

15. $-1\le t\le 1$$-1\le t\le 1$인 실수 $t$$t$에 대하여 $x$$x$에 대한 방정식

$$(\sin \frac{\pi x}{2}-t)(\cos \frac{\pi x}{2}-t)=0$$

의 실근 중에서 집합 $\{x|0\le x<4\}$$\big\{ x|0\le x<4\big\}$에 속하는 가장 작은 값을 $\alpha (t)$$\alpha(t)$, 가장 큰 값을 $\beta (t)$$\beta(t)$라 하자. <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. $-1\le t<0$$-1\le t<0$인 모든 실수 $t$$t$에 대하여 $\alpha (t)+\beta (t)=5$$\alpha(t)+\beta(t)=5$이다.

ㄴ. $\{t|\beta (t)-\alpha (t)=\beta (0)-\alpha (0)\}=\{t|0\le t\le \frac{\sqrt{2}}{2}\}$$\big\{t|\beta(t)-\alpha(t)=\beta(0)-\alpha(0)\big\}=\Big\{t\Big|0\le t\le \cfrac{\sqrt 2}2\Big\}$

ㄷ. $\alpha (t_1)=\alpha (t_2)$$\alpha(t_1)=\alpha(t_2)$인 두 실수 $t_1,t_2$$t_1,~t_2$에 대하여 $t_2-t_1=\frac{1}{2}$$t_2-t_1=\cfrac 12$이면 $t_1\times t_2=\frac{1}{3}$$t_1\times t_2=\cfrac 13$이다.

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i. 정리

딱히 할 게 없네...그래프를 그리자!

ii. $=1\le t<0$$=1\le t<0$ 이면 $\alpha (t)+\beta (t)=5$$\alpha(t)+\beta(t)=5$ ?

• 당연히 그래프글 그려야지!

$\alpha (t)=$$\alpha(t)=$점 $C$$C$의 $x$$x$ 좌표

$\beta (t)=$$\beta(t)=$점 $A$$A$의 $x$$x$ 좌표

• 삼각함수의 대칭성을 이용하자.

  • $\overline{CD}=\overline{AB}=\gamma$$\overline{CD}=\overline{AB}=\gamma$라 하면,
  • $\alpha (t)=2-\gamma$$\alpha(t)=2-\gamma$
  • $\beta (t)=3+\gamma$$\beta(t)=3+\gamma$

$\therefore \alpha (t)+\beta (t)=5$$\therefore~\alpha(t)+\beta(t)=5$

True

iii. $\{t|\beta (t)-\alpha (t)=\beta (0)-\alpha (0)\}=\{t|0\le t\le \frac{\sqrt{2}}{2}\}$$\big\{t|\beta(t)-\alpha(t)=\beta(0)-\alpha(0)\big\}=\Big\{t\Big|0\le t\le \cfrac{\sqrt 2}2\Big\}$ ?

• $\alpha (0)=0,\beta (0)=3⟶\beta (t)-\alpha (t)=3$$\alpha(0)=0,~\beta(0)=3\quad \longrightarrow\quad \beta(t)-\alpha(t)=3$

• 느낌상 딱 $3$$3$ 구간으로 나누어야 할 것 같다.

  • $0\le t\le \frac{\sqrt{2}}{2}$$0\le t\le \cfrac{\sqrt 2}2$
  • $t=\frac{\sqrt{2}}{2}$$t=\cfrac {\sqrt 2}2$
  • $\frac{\sqrt{2}}{2}<t<1$$\cfrac {\sqrt 2}2<t<1$
  • $t=1$$t=1$

  정정한다.. 4개다...

• 그래프로 살펴보자.

  • $0\le t<\frac{\sqrt{2}}{2}$$0\le t<\cfrac{\sqrt 2}2$

  

  • 삼각함수의 대칭성을 활용하면,

    • $\alpha (t)=1-\gamma ,\beta (t)=4-\gamma$$\alpha(t)=1-\gamma,~\beta(t)=4-\gamma$
    • $\beta (t)-\alpha (t)=3$$\beta(t)-\alpha(t)=3$

  • $t=\frac{\sqrt{2}}{2}$$t=\cfrac {\sqrt 2}2$

    • $\alpha (t)=\frac{1}{2},\beta (t)=3\frac{1}{2}$$\alpha(t)=\cfrac 12,~\beta(t)=3\cfrac 12$
    • $\beta (t)-\alpha (t)=3$$\beta(t)-\alpha(t)=3$

  • $\frac{\sqrt{2}}{2}<t<1$$\cfrac{\sqrt 2}2<t<1$

    • $\alpha (t)=\delta ,\beta (t)=4-\delta$$\alpha(t)=\delta,~\beta(t)=4-\delta$
    • $\beta (t)-\alpha (t)\ne 3$$\beta(t)-\alpha(t)\neq 3$

  • $t=1$$t=1$

    • $\alpha (t)=0,\beta (t)=1$$\alpha (t)=0, ~\beta(t)=1$
    • $\beta (t)-\alpha (t)\ne 3$$\beta(t)-\alpha(t)\neq 3$

True

iv. 블라블라...

• 조건에 따라 식을 써보면,

  $\sin \frac{\pi }{2}{x}_1=t_1$$\sin \cfrac{\pi}2x_1 =t_1$

  $\cos \frac{\pi }{2}{x}_2=t_2$$\cos \cfrac{\pi}2x_2=t_2$

  어? 어?

• 뭐지? 옳은 것 고르기 문제 잘못 만든 거 같은데??

  $t_2-t_1=\frac{1}{2}$$t_2-t_1=\cfrac 12$

  $t_1^2+t_2^2=1$$t_1^2 +t_2^2=1$

• 계산하자...당연히 $t_2>t_1$$t_2>t_1$일 것이고...

  $(t_2-t_1{)}^2=t_1^2-2t_1{t}_2+t_2^2$$(t_2-t_1)^2 =t_1^2 -2t_1t_2+t_2^2$

  $\therefore t_1{t}_2=\frac{3}{8}$$\therefore~t_1t_2 =\cfrac 38$

False