2021년 04월 15번

15. 그림과 같이 $1$$1$보다 큰 실수 $k$$k$에 대하여 두 곡선 $y={\log }_2|kx|$$y=\log_2 |kx|$와 $y={\log }_2(x+4)$$y=\log_2 (x+4)$가 만나는 서로 다른 두 점을 $A$$A$, $B$$B$라 하고, 점 $B$$B$를 지나는 곡선 $y={\log }_2(-x+m)$$y=\log_2(-x+m)$이 곡선 $y={\log }_2|kx|$$y=\log_2|kx|$와 만나는 점 중 $B$$B$가 아닌 점을 $C$$C$라 하자. 세 점 $A,B,C$$A,~B,~C$의 $x$$x$ 좌표를 각각 $x_1,x_2,x_3$$x_1,~x_2,~x_3$라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오. (단, $x_1<x_2$$x_1<x_2$이고, $m$$m$은 실수이다.)

ㄱ. $x_2=-2x_1$$x_2=-2x_1$이면 $k=3$$k=3$이다.

ㄴ. $x_2^2=x_1{x}_3$$x_2^2 =x_1x_3$

ㄷ. 직선 $AB$$AB$의 기울기와 직선 $AC$$AC$의 기울기의 합이 $0$$0$일 때, $m+k^2=19$$m+k^2=19$이다.

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i. 정리

딱히 안 보이네?

ii. $x_2=-2x_1⟶k=3?$$x_2=-2x_1\quad\longrightarrow\quad k=3?$

관계식식을 찾기 위해 $y$$y$ 좌표들로 접근하자.

• $y_1=?$$y_1=?$

${\log }_2(-k{x}_1)={\log }_2(x_1+4)$$\log_2 (-kx_1)=\log_2 (x_1+4)$

$\therefore x_1=-\frac{-}{4}k+1$$\therefore~x_1=-\cfrac -4{k+1}$

• $y_2=?$$y_2=?$

${\log }_2(x_1+4)={\log }_{2}k{x}_2$$\log_2 (x_1+4)=\log_2kx_2$

$\therefore x_2=\frac{4}{k-1}$$\therefore~ x_2=\cfrac 4{k-1}$

• $x_2=-2x_1$$x_2=-2x_1$에 대입하자

$\frac{4}{k-1}=\frac{8}{k+1}$$\cfrac 4{k-1}=\cfrac 8{k+1}$

$\therefore k=3$$\therefore~k=3$

True

iii. $x_2^2=x_1{x}_3?$$x_2^2 =x_1x_3~?$

• $y_3=?$$y_3=?$

${\log }_2(-k{x}_3)={\log }_2(-x_3+m)$$\log_2 (-kx_3)=\log_2(-x_3+m)$

$x_3=\frac{m}{1-k}$$x_3=\cfrac m{1-k}$

• $m$$m$을 제거하자.

$x_2+4=k{x}_2=-x_2+m$$x_2+4=kx_2=-x_2+m$

$m=(k+1)x_2$$m=(k+1)x_2$

$\begin{array}{rl}{x}_3& =\frac{m}{1-k}\\ \\ & =\frac{k+1}{1-k}\cdot \frac{4}{k-1}\\ \\ & =-\frac{4(1+k)}{(1-k{)}^2}\end{array}$$\begin{aligned}x_3&= \frac m{1-k} \\ \\ &= \frac {k+1}{1-k} \cdot \frac 4{k-1} \\ \\ &=-\frac {4(1+k)}{(1-k)^2}\end{aligned}$

• 계, 계산을 하자....

• $x_2^2=\frac{16}{(k-1{)}^2}$$x_2^2 =\cfrac {16}{(k-1)^2}$
• $x_1\cdot x_3=-\frac{4}{k+1}\cdot .-\frac{4(1+k)}{(1-k{)}^2}=\frac{16}{(1-k{)}^2}$$x_1\cdot x_3 =-\cfrac 4{k+1}\cdot. -\cfrac {4(1+k)}{(1-k)^2} = \cfrac {16}{(1-k)^2}$

True

아무래도 계산이 문제인 듯 한데...

iv. $\overline{AB}$$\overline{AB}$의 기울기+$\overline{AC}$$\overline{AC}$의 기울기$=0⟶m+k^2=19?$$=0\quad \longrightarrow\quad m+k^2=19~?~$

• 아무래도 계산이 더러울 거 같다...최대한 쥐어짜내서 계산을 어떻게든 쉽게 만들자.

  1. $m,k$$m,~k$ 의 조합

  2. $x_2^2=x_1\cdot x_3$$x_2^2 =x_1\cdot x_3$의 활용

     • $2{\log }_2{x}_2={\log }_2{x}_1+{\log }_2{x}_3?$$2\log_2 x_2 =\log_2x_1+\log_2x_3?$
     • $\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_3}{x_2}$$\cfrac {x_2}{x_1}=\cfrac {x_3}{x_2}$

v. $\overline{AB}$$\overline{AB}$의 기울기를 $n_1$$n_1$이라 하면?

$\begin{array}{rl}{n}_1& =\frac{{\log }_2{x}_2+{\log }_{2}k-({\log }_2(-x_1)+{\log }_{2}k))}{x_2-x_1}\\ \\ & =\frac{{\log }_2(\frac{x_2}{-x_1})}{x_2-x_1}\end{array}$$\begin{aligned}n_1 &=\cfrac {\log_2 x_2 +\log_2 k -\big(\log_2(-x_1)+\log_2k)\big)}{x_2-x_1}\\ \\ &= \frac {\log_2\Big(\cfrac {x_2}{-x_1}\Big)}{x_2-x_1} \end{aligned}$

• 식을 간단히 하기 위해서, $\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_3}{x_2}=\alpha$$\cfrac {x_2}{x_1}=\cfrac {x_3}{x_2}=\alpha$로 놓자.

  $-\frac{x_2}{x_1}=-\alpha$$-\cfrac {x_2}{x_1}=-\alpha$

  $x_2=\alpha \cdot x_1\to x_2=x_1=(\alpha -1)x_1$$x_2=\alpha \cdot x_1 \quad \rightarrow \quad x_2=x_1=(\alpha -1)x_1$

$\therefore n_1=\frac{{\log }_2(-\alpha )}{(\alpha -1)x_1}$$\therefore~n_1 =\cfrac{\log_2(-\alpha)}{(\alpha-1)x_1}$

vi. $\overline{AC}$$\overline{AC}$의 기울기를 $n_2$$n_2$라 하면,

$\begin{array}{rl}{n}_2& =\frac{{\log }_2(-\frac{x_3}{x_1})}{x_3-x_1}\end{array}$$\begin{aligned} n_2&= \frac {\log_2 \Big(-\cfrac {x_3}{x_1}\Big)}{x_3-x_1} \end{aligned}$

$x_3=\alpha x_1={\alpha }^2{x}_1$$x_3=\alpha x_1 = \alpha^2 x_1$

이를 이용해서 식을 $\alpha ,x_1$$\alpha,~x_1$으로 바꾸면...(계산 생략...후....)

$\therefore n_2=\frac{2{\log }_2(-\alpha )}{({\alpha }^2-1)x_1}$$\therefore~n_2=\cfrac{2\log_2(-\alpha)}{(\alpha^2 -1)x_1}$

당연히 조건에서 $\alpha \ne 1,x_1\ne 0$$\alpha\neq 1,~x_1\neq 0$

vii. 마지막 계산...

$\frac{{\log }_2(-\alpha )}{x_1(\alpha -1)}=-2\frac{{\log }_2(-\alpha )}{x_1({\alpha }^2-1)}$$\cfrac{\log_2(-\alpha)}{x_1 (\alpha -1)}=-2\cfrac {\log_2(-\alpha)}{x_1(\alpha^2-1)}$

$1=-\frac{2}{\alpha +1}$$1=-\cfrac 2{\alpha+1}$

$\therefore \alpha =-3$$\therefore~\alpha =-3$

계산하면 $k=2$$k=2$

마저 계산하면 $m=12$$m=12$

$\therefore m+k^2=16$$\therefore~m+k^2=16$

False