2021년 03월 21번

21. 그림과 같이 $\overline{AB}=2,\overline{AC}//\overline{BD},\overline{AC}:\overline{BD}=1:2$$\overline{AB}=2,~\overline{AC} \mathrel {/\!/}\overline{BD}, ~\overline{AC}:\overline{BD}=1:2$인 두 삼각형 $ABC,ABD$$ABC,~ABD$가 있다. 점 $C$$C$에서 선분 $AB$$AB$ 위에 내린 수선의 발 $H$$H$는 선분 $AB$$AB$를 $1:3$$1:3$으로 내분한다.

두 삼각형 $ABC,ABD$$ABC,~ABD$의 외접원의 반지름의 길이를 각각 $r,R$$r,~R$라 할 때, $4(R^2-r^2)\times {\sin }^2(\mathrm{\angle }CAB)=51$$4(R^2-r^2)\times \sin ^2 (\angle CAB)=51$이다. ${\overline{AC}}^2$$\overline{AC}^2$의 값을 구하시오. (단, $\mathrm{\angle }CAB<\frac{\pi }{2}$$\angle CAB<\cfrac {\pi}2$)

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i. 정리

도형 문제가 나왔으니 습관적으로 사인법칙, 제2코사인법칙을 염두에 두자.

• $\mathrm{△}ACE\backsim \mathrm{△}DBE1:2$$\triangle ACE\backsim \triangle DBE\quad 1:2$ 닮음 ($\because \overline{AC}//\overline{BD}$$\because~\overline{AC}\mathrel {/\!/}\overline{BD}$)
• $\mathrm{△}ABC\to r$$\triangle ABC\rightarrow r$
• $\mathrm{△}ABD\to R$$\triangle ABD \rightarrow R$
• $4(R^2-r^2)\times {\sin }^2(\mathrm{\angle }CAB)=51$$4(R^2-r^2)\times \sin ^2 (\angle CAB)=51$

ii. 정보를 표기하고 생각하자.

• $r,R$$r,~R$을 이용하기 위해서는 사인법칙

• 가능하면 사인법칙을 같은 각도, 또는 보각을 이용하는 것이 편할 것이다. (보각: 더해서 ${180}^{\circ }$$180^{\circ}$가 되는 각)

  • $\mathrm{\angle }CAB$$\angle CAB$를 이용하면 될 듯 하다? $\mathrm{\angle }ABD=\pi -\mathrm{\angle }CAB$$\angle ABD=\pi -\angle CAB$

iii. 이제 계산을 해보자.

• $\frac{3\beta }{\sin \mathrm{\angle }CAB}=2r⟶4r^2=\frac{9{\beta }^2}{{\sin }^2\mathrm{\angle }CAB}$$\cfrac {3\beta}{\sin \angle CAB} =2r\quad \longrightarrow\quad 4r^2 =\cfrac {9\beta^2}{\sin^2 \angle CAB}$
• $\sin \mathrm{\angle }ABD=\sin (\pi -\mathrm{\angle }CAB)=\sin \mathrm{\angle }CAB$$\sin\angle ABD =\sin (\pi-\angle CAB)=\sin \angle CAB$
• $\frac{3\alpha }{\sin \mathrm{\angle }CAB}=2R⟶4R^2=\frac{9{\alpha }^2}{{\sin }^2\mathrm{\angle }CAB}$$\cfrac{3\alpha}{\sin \angle CAB} =2R\quad \longrightarrow\quad 4R^2 =\cfrac{9\alpha^2 }{\sin^2 \angle CAB}$

오? 계산하면 뭔가 나올 것 같다.

• $4(R^2-r^2){\sin }^2\mathrm{\angle }CAB=9({\alpha }^2-{\beta }^2)=51$$4(R^2 -r^2 )\sin^2 \angle CAB=9(\alpha^2-\beta^2 )=51$

$\overline{AC}=b$$\overline{AC}=b$라 하면, $\alpha ,\beta$$\alpha,~\beta$를 $b$$b$로 표현할 수 만 있으면 $9({\alpha }^2-{\beta }^2)=51$$9(\alpha^2 -\beta^2 )=51$은 $b$$b$에 대한 방정식으로 바뀌면서 답을 구할 수 있을 것이다!

• $\mathrm{△}ABC$$\triangle ABC$를 살펴보면, 길이가 각각 $b,2,3\beta$$b,~2,~3\beta$
• $\mathrm{△}ABD$$\triangle ABD$를 살펴보면, 길이가 각각 $2,2b,3\alpha$$2,~2b,~3\alpha$

$\mathrm{\angle }ABD=\pi -\mathrm{\angle }CAB$$\angle ABD=\pi -\angle CAB$ 를 이용하면 되겠다. 제2코사인법칙

• $9{\beta }^2=b^2+4-2\cdot 2\cdot b\cdot \cos \mathrm{\angle }CAB$$9\beta^2 =b^2 +4-2\cdot 2\cdot b\cdot \cos \angle CAB$
• $9{\alpha }^2=4b^2+4+2\cdot 2\cdot 2b\cos \mathrm{\angle }CAB$$9\alpha^2 =4b^2 +4+2\cdot 2\cdot 2b \cos\angle CAB$

$\cos \mathrm{\angle }CAB=\frac{\frac{1}{2}}{b}=\frac{1}{2b}(\because \mathrm{△}CAH)$$\cos \angle CAB=\cfrac {\cfrac 12}b=\cfrac 1{2b}\quad (\because~\triangle CAH)$

계산하면,

$\begin{array}{rl}9({\alpha }^2-{\beta }^2)& =3b^2+12b\cos \mathrm{\angle }CAB\\ 51& =3b^2+6\\ 3b^2& =45\\ b^2& =15\end{array}$$\begin{aligned} 9(\alpha^2 -\beta^2)&= 3b^2 +12b\cos \angle CAB\\ 51&=3b^2 +6 \\ 3b^2 &=45 \\ b^2 &=15\end{aligned}$