2021년 03월 15번

15. 그림과 같이 $\overline{AB}=5,\overline{BC}=4,\cos (\mathrm{\angle }ABC)=\frac{1}{8}$$\overline{AB}=5,~\overline{BC}=4,~\cos \big(\angle ABC\big)=\cfrac 18$인 삼각형 $ABC$$ABC$가 있다. $\mathrm{\angle }ABC$$\angle ABC$의 이등분선과 $\mathrm{\angle }CAB$$\angle CAB$의 이등분선이 만나는 점을 $D$$D$, 선분 $BD$$BD$의 연장선과 삼각형 $ABC$$ABC$의 외접원이 만나는 점을 $E$$E$라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. $\overline{AC}=6$$\overline{AC}=6$

ㄴ. $\overline{EA}=\overline{EC}$$\overline{EA}=\overline{EC}$

ㄷ. $\overline{ED}=\frac{31}{8}$$\overline{ED}=\cfrac{31}8$

---

i. $\overline{AC}=6$$\overline{AC}=6$?

그냥 주어진 조건만 딱 봐도 $\mathrm{△}ABC$$\triangle ABC$에서 제2코사인법칙을 활용하면 되겠다.

$\begin{array}{rl}{\overline{AC}}^2& =5^2+4^2-2\cdot 5\cdot 4\cdot \frac{1}{8}\\ & =36\end{array}$$\begin{aligned} \overline{AC}^2 &= 5^2 +4^2 -2\cdot 5\cdot 4 \cdot \cfrac 18\\ &= 36 \end{aligned}$

$\therefore \overline{AC}=6$$\therefore~\overline{AC}=6$

True

ii. $\overline{EA}=\overline{EC}$$\overline{EA}=\overline{EC}$ ?

원이 나오면 항상 원주각을 염두에 두어야 한다. (좀 더 잔소리를 하면 중학교 때 배운 도형의 기본 공식은 알아두면 쓸 데가 많다.)

$\stackrel{⏜}{\mathrm{EA}}$$\mathrm{\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{EA} }$의 원주각은 $\mathrm{\angle }ABE$$\angle ABE$

$\stackrel{⏜}{\mathrm{EC}}$$\mathrm{\overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{EC} }$의 원주각은 $\mathrm{\angle }EBC$$\angle EBC$

그런데, $\mathrm{\angle }ABE=\mathrm{\angle }EBC$$\angle ABE=\angle EBC$

$\therefore \overline{EA}=\overline{EC}$$\therefore~\overline{EA}=\overline{EC}$

True

iii. $\overline{ED}=\frac{31}{8}$$\overline{ED}=\cfrac {31}8$ ?

흠.... 이건 좀 빡쎄 보인다?

이럴 때는 항상 사인법칙, 제2코사인법칙을 염두에 두면서 원주각 등등 알아낼 수 있는 것들 표시해보자.

물론 이 외에도 표시할 정보는 더 있을 수 있다. 하지만, 어디까지나 $\overline{ED}$$\overline{ED}$와 연결된 것으로 접근해야 한다.

$\mathrm{\angle }EAD=\mathrm{\angle }EDA$$\angle EAD=\angle EDA$

$\mathrm{△}ADE$$\triangle ADE$는 $\overline{AE}=\overline{ED}$$\overline{AE}=\overline{ED}$인 이등변삼각형이다!

이제 문제는 $\overline{AE}$$\overline{AE}$를 구하는 것으로 변형되었다.

제대로 풀어왔다면, 이 즈음에서 앞선 보기 ㄱ, ㄴ 을 활용할 때가 되었음을 알고 있겠지?

$\overline{EA}=\overline{EC}$$\overline{EA}=\overline{EC}$, $\overline{AC}=6$$\overline{AC}=6$

오호~ 딱 삼각형이 정해지는 것이 보인다? $\mathrm{△}ACE$$\triangle ACE$ !!!

$\cos \mathrm{\angle }AEC$$\cos \angle AEC$의 값만 알 수 있으면 문제는 해결된다!

남은 조건이 무엇이 있나...? $\cos \mathrm{\angle }ABC$$\cos \angle ABC$

오! $\mathrm{\angle }ABC+\mathrm{\angle }AEC=\pi (rad)={180}^{\circ }$$\angle ABC +\angle AEC=\pi(rad)=180^{\circ}$인 것은 중학교 때 배웠으리라 믿는다.

$\begin{array}{rl}\cos \mathrm{\angle }AEC& =\cos (\pi -\mathrm{\angle }ABC)\\ & =-\cos \mathrm{\angle }ABC\end{array}$$\begin{aligned} \cos \angle AEC &=\cos (\pi -\angle ABC)\\ &= -\cos \angle ABC \end{aligned}$

이제 계산하자.

$\begin{array}{rl}{6}^2& ={\overline{AE}}^2+{\overline{AE}}^2-2\cdot {\overline{AE}}^2\cdot (-\frac{1}{8})\\ 36& =\frac{9}{4}{\overline{AE}}^2\end{array}$$\begin{aligned} 6^2 &=\overline{AE}^2 +\overline{AE}^2 -2\cdot \overline{AE}^2 \cdot \big(-\cfrac 18) \\ 36&=\cfrac 94 \overline{AE}^2\end{aligned}$

$\therefore \overline{AE}=4$$\therefore~\overline{AE}=4$

False