2021년 04월 21번

21. 첫째항이 자연수인 수열 $\{a_n\}$$\big\{a_n\big\}$이 모든 자연수 $n$$n$에 대하여

$$\begin{array}{c}{a}_{n+1}=\{\begin{array}{ll}{a}_n-2& (a_n\ge 0)\\ \\ a_n+5& (a_n<0)\end{array}\end{array}$$

을 만족시킨다. $a_{15}<0$$a_{15}<0$이 되도록 하는 $a_1$$a_1$의 최솟값을 구하시오.

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i. 정리

그냥 이건 딱! 대입해서 규칙찾기다!

수열=규칙!!!

단 최대한 빠른 계산을 위하여 가능하면 광범위하게 적용할 수 있는 규칙을 찾도록 하자.

ii. $a_1=1$$a_1=1$이면?

$a_1=1$$a_1=1$

$a_2=-1$$a_2=-1$

$a_3=4$$a_3=4$

$a_4=2$$a_4=2$

$a_5=0$$a_5=0$

$a_6=-2$$a_6=-2$

$a_7=3$$a_7=3$

$a_8=1$$a_8=1$ 이거닷! 여기서부터는 반복된다! 반복하면 $a_{15}=1$$a_{15}=1$

ii. $a_1=2$$a_1=2$이면?

위의 $a_4$$a_4$부터 시작해서 다시 반복될 것이다~!

$a_1=2$$a_1=2$

$a_2=0$$a_2=0$

$a_3=-2$$a_3=-2$

$a_4=3$$a_4=3$

$a_5=1$$a_5=1$

$⋮$$\vdots$

유추하면, $a_{15}=2$$a_{15}=2$

iii. $a_1=3$$a_1=3$이면?

이쯤되면 그냥 숫자 쫙 적어놓고 거기서부터 세는 게 빠를 듯 하지 않나?

물론 조금 더 머리 굴리면 바로 답이 나올 거 같긴 한데..우리는 그 정도로 머리가 좋진 않잖아..

머리가 좋지 않은 상태에서 그거 생각하느니 그냥 아래처럼 하는 게 더 빠를 껄?

iv. 나열하고 세자

$1,-1,4,2,0,-2,3$$1,~-1,4,~2,~0,~-2,~3$ 그리고 반복

• $a_1=3$$a_1=3$일 때, $a_2=1$$a_2=1$이니까 $a_{15}=3$$a_{15}=3$
• $a_1=4$$a_1=4$일 때, $a_6=1$$a_6=1$이니까 $a_{15}=4$$a_{15}=4$
• $a_5=5$$a_5=5$일 때, $a_3=1$$a_3=1$이니까 $a_{15}=-2$$a_{15}=-2$

$\therefore a_1=5$$\therefore~a_1=5$일 때 처음으로 $a_{15}<0$$a_{15}<0$이다.