2021년 03월 22번

22. 양수 $a$$a$​와 일차함수 $f(x)$$f(x)$​에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

$$g(x)={\int }_0^x(t^2-4)\{|f(t)|-a\}dt$$

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $g(x)$$g(x)$는 극값을 갖지 않는다.

(나) $g(2)=5$$g(2)=5$

$g(0)-g(-4)$$g(0)-g(-4)$의 값을 구하시오.

 

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i. 정리부터 하자.

• $g(0)=0$$g(0)=0$
• $g^{\prime }(x)\ne 0$$g'(x)\neq 0$ 이거나 $g^{\prime }(x)=0$$g'(x)=0$의 근은 무조건 중근의 형태이다! ($\because$$\because~$극값을 갖지 않는다!)
• $g(2)=5$$g(2)=5$
• $g^{\prime }(x)=(x^2-4)\{|f(x)|-a\}a>0$$g'(x)=(x^2-4)\big\{|f(x)|-a\big\}\quad a>0$

ii. 생각하자.

• $g^{\prime }(x)=(x^2-4)\{|f(x)|-a\}a>0$$g'(x)=(x^2-4)\big\{|f(x)|-a\big\}\quad a>0$ 에서 $x=2,-2$$x=2,~-2$에서 $g^{\prime }(x)=0$$g'(x)=0$인데 극값을 가지지 않는다?

  • 당연히 $|f(x)|-a=0$$|f(x)|-a=0$의 근이 $x=2,-2$$x=2,~-2$라는 소리네? 대충 이 그래프를 그려보면,

  

$f(x)$$f(x)$는 원점을 지나는 일차함수 즉, $f(x)=mx$$f(x)=mx$이다!

• 만일 $f(x)=mx+nn\ne 0$$f(x)=mx+n\quad n\neq 0$이면 어찌될까? 임의로 그려보고 판단하자.

iii. 새로운 정보를 이용하여 계산을 하자.

• $h(x)=|f(x)|-a$$h(x)=|f(x)|-a$라 하면, $h(2)=h(-2)=0$$h(2)=h(-2)=0$

편의상 $h(2)=0$$h(2)=0$을 이용하겠다. 계산을 하면,

$m=\pm \frac{a}{2}$$m=\pm \cfrac a2$

어차피 $y=(x^2-4)(|f(x)|-a)$$y=(x^2 -4)(|f(x)|-a)$는 $y$$y$축 대칭일테니까 $m=\frac{a}{2}$$m=\cfrac a2$를 넣어서 먼저 계산해보고 $a<0$$a<0$으로 나오면 다시 계산하자.

$\begin{array}{rl}g(x)& ={\int }_0^x(t^2-4)\{\frac{a}{2}|t|-a\}dt\\ & =\frac{a}{2}{\int }_0^x(t^2-4)(|t|-2)dt\end{array}$$\begin{aligned} g(x)&= \int_0^x (t^2 -4)\big\{\frac a2|t|-a\big\}dt\\ &=\cfrac a2 \int_0^x (t^2-4)(|t|-2)dt\end{aligned}$

$g(2)=5$$g(2)=5$를 이용하면, (생략....)

$a=\frac{3}{2}$$a=\cfrac 32$

$\therefore \begin{array}{rl}g(x)& =\frac{3}{4}{\int }_0^x(t^2-4)(|t|-2)dt\end{array}$$\therefore~\begin{aligned} g(x)&=\frac 34 \int_0^x (t^2 -4)(|t|-2)dt\end{aligned}$

iv. 답을 구하자!

• $g(0)=0$$g(0)=0$
• $g(-4)=-16$$g(-4)=-16$ (계산과정 생략... )

$\therefore g(0)-g(-4)=16$$\therefore~g(0)-g(-4)=16$