2022학년도 06월 21번

21. 다음 조건을 만족시키는 최고차항의 계수가 $1$$1$인 이차함수 $f(x)$$f(x)$가 존재하도록 하는 모든 자연수 $n$$n$의 값의 합을 구하시오.

(가) $x$$x$에 대한 방정식 $(x^n-64)f(x)=0$$\big(x^n -64\big)f(x)=0$은 서로 다른 두 실근을 갖고, 각각의 실근은 중근이다.

(나) 함수 $f(x)$$f(x)$의 최솟값은 음의 정수이다.

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i. 정리

• $(x^n-2^6)f(x)=0$$\big(x^n -2^6\big)f(x)=0$은 서로 다른 두 실근 & 중근

• $f(x)$$f(x)$의 최솟값은 음의 정수

  $⟶$$\longrightarrow$ 우선은 서로 다른 두 실근을 갖는다. 정도? 정수라...

ii. 생각하자.

• $n\ne 1$$n\neq 1$

  조건에 위배

• $n$$n$이 홀수이면?

  역시 조건에 위배 ($\because x^n-2^6=0$$\because~x^n -2^6=0$은 하나의 실근만을 갖는다.)

• $n$$n$이 짝수이면?

  $x=\pm \sqrt[n]{2^6}=\pm 2^{\frac{6}{n}}$$x=\pm \sqrt[n]{2^6}=\pm 2^{\frac 6n}$

  이거네!

  서로 다른 두 실근이면서 중근이기 위해서는

  $f(x)=(x-2^{\frac{6}{n}})(x+2^{\frac{6}{n}})$$f(x)=\big(x-2^{\frac 6n}\big)\big(x+2^{\frac 6n }\big)$

  그리고, $y=f(x)$$y=f(x)$는 $y$$y$ 축 대칭이므로, $y=f(x)$$y=f(x)$의 최솟값은 $f(0)=-2^{\frac{12}{n}}$$f(0)=-2^{\frac{12}n}$

• 아 그래서 최솟값이 음의 정수라고 했구나...

  $\frac{12}{n}$$\cfrac {12}n$이 정수이면 되는군.

  $\therefore n=2,4,6,12$$\therefore~n=2,~4,~6,~12$

$\therefore 24$$\therefore~24$