2021년 10월 22번

22. 양수 $a$$a$에 대하여 최고차항의 계수가 $1$$1$인 삼차함수 $f(x)$$f(x)$와 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)$$g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 $x$$x$에 대하여 $|x(x-2)|g(x)=x(x-2)(|f(x)|-a)$$\big| x(x-2)\big| g(x)=x(x-2)\Big(\big|f(x)\Big|-a\Big)$ 이다.

(나) 함수 $g(x)$$g(x)$는 $x=0$$x=0$과 $x=2$$x=2$에서 미분가능하다.

$g(3a)$$g(3a)$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $a>0,f(x)=x^3+\sim$$a>0,~f(x)=x^3 +\sim$

• 조건 (나)를 살펴보면, $g(x)$$g(x)$는 모든 실수에서 연속이다?

  $g(x)=\frac{x(x-2)(|f(x)|-a)}{|x(x-2)|}$$g(x)=\cfrac{x(x-2)\big(|f(x)|-a\big)}{|x(x-2)|}$

  이고, 연속이다.

ii. 생각

1. $x=0$$x=0$에서 연속.

   $\underset{x\to 0+}{lim}g(x)=\underset{x\to 0-}{lim}g(x)=g(0)$$\lim\limits_{x\to 0+}g(x)=\lim\limits_{x\to 0-}g(x)=g(0)$

   계산하면,

   $-(|f(0)|-a)=|f(0)|-a$$-\big(|f(0)|-a\big) =|f(0)|-a$

   $|f(0)|=a$$|f(0)|=a$

   $\therefore f(0)=\pm a,g(0)=0$$\therefore~f(0)=\pm a,~g(0)=0$

2. $x=2$$x=2$에서 연속.

   $\underset{x\to 2+}{lim}=\underset{x\to 2-}{lim}g(x)=g(2)$$\lim\limits_{x\to 2+}=\lim\limits_{x\to 2-}g(x)=g(2)$

   마찬가지로 계산하면,

   $\therefore f(2)=\pm a,g(2)=0$$\therefore~f(2)=\pm a,~g(2)=0$

iii. 미분가능을 이용하자.

$\begin{array}{c}g(x)=\{\begin{array}{ll}|f(x)|-a& x<0\\ \\ 0& x=0\\ \\ -|f(x)|+a& 0<x<2\\ \\ 0& x=2\\ \\ |f(x)|-a& 2<x\end{array}\end{array}$$g(x)=\begin{cases} |f(x)|-a &x<0\\ \\ 0 &x=0 \\ \\ -|f(x)|+a &0<x<2\\ \\ 0 &x=2\\ \\ |f(x)|-a& 2<x\end{cases}$

계산하기 까다로우니, $h(x)=|f(x)|$$h(x)=|f(x)|$라고 하자. 그러면,

$\begin{array}{c}{g}^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}{h}^{\prime }(x)& x<0\\ \\ -h^{\prime }(x)& 0<x<2\\ \\ h^{\prime }(x)& 2<x\end{array}\end{array}$$g'(x)=\begin{cases} h'(x) &x<0\\ \\ -h'(x) &0<x<2\\ \\ h'(x) &2<x\end{cases}$

1. $x=0$$x=0$일 때 미분가능이다.

   $\underset{x\to 0-}{lim}{g}^{\prime }(x)=\underset{x\to 0+}{lim}{g}^{\prime }(x)=g^{\prime }(0)$$\lim\limits_{x\to 0-} g'(x)=\lim\limits_{x\to 0+}g'(x)=g'(0)$

   $h^{\prime }(0)=-h^{\prime }(0)$$h'(0)=-h'(0)$

   $\therefore h^{\prime }(0)=0\mathrm{\&}{g}^{\prime }(0)=0$$\therefore~h'(0)=0~\&~g'(0)=0$

2. $x=2$$x=2$일 때 미분가능이다.

   마찬가지로 계산하면,

   $h^{\prime }(2)=0$$h'(2)=0$

   $\therefore h^{\prime }(2)=0\mathrm{\&}{g}^{\prime }(2)=0$$\therefore~h'(2)=0~\&~g'(2)=0$

$\therefore f^{\prime }(x)=3x(x-2)$$\therefore~f'(x)=3x(x-2)$이고 극댓값은 $a$$a$, 극솟값은 $-a$$-a$임을 알 수 있다.

iv. 계산

$f(x)=x^3-3x^2+a$$f(x)=x^3 -3x^2 +a$이고, $f(2)=-a$$f(2)=-a$ 이다.

계산하면, $a=2$$a=2$

$\therefore g(6)=108$$\therefore~g(6)=108$