2022학년도 11월 22번

22. 최고차항의 계수가 $\frac{1}{2}$$\cfrac 12$인 삼차함수 $f(x)$$f(x)$와 실수 $t$$t$에 대하여 방정식 $f^{\prime }(x)=0$$f'(x)=0$이 닫힌 구간 $[t,t+2]$$\big[t,~t+2\big]$에서 갖는 실근의 개수를 $g(t)$$g(t)$라 할 때, 함수 $g(t)$$g(t)$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 $a$$a$에 대하여 $\underset{t\to a+}{lim}g(t)+\underset{t\to a-}{lim}g(t)\le 2$$\lim\limits_{t\to a+}g(t)+\lim\limits_{t\to a-}g(t)\le 2$이다.

(나) $g(f(1))=g(f(4))=2,g(f(0))=1$$g\big(f(1)\big)=g\big(f(4)\big)=2,~g\big(f(0)\big)=1$

$f(5)$$f(5)$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $f(x)=\frac{1}{2}{x}^3+\sim$$f(x)=\cfrac12x^3 +\sim$
• $f^{\prime }(x)=0,[t,t+2]t\in \mathbb{R}$$f'(x)=0,~\big[t,~t+2\big]~t\in\mathbb R$에서의 실근의 개수$=g(t)$$=g(t)$

ii. 생각

• $y=f^{\prime }(x)$$y=f'(x)$의 개형부터 살펴봐야겠다.

  

  조건 (가)를 생각하면서 엄지와 검지 또는 필기도구로 길이 $2$$2$를 가정하고 좌우로 움직이면서 생각하자.

  모든 경우가 가능하지만, 두 근을 가질 때, $|\alpha -\beta |<2$$\big|\alpha-\beta\big|<2$라면 어떤 실수 $a$$a$에서는 조건을 만족시키지 못한다.

  그럼 $|\alpha -\beta |\ge 2$$\big|\alpha-\beta \big|\ge 2$임을 알 수 있다.

• 어? 조건 (나)를 보니 $\alpha ,\alpha +2$$\alpha,~\alpha+2$로 두 근을 볼 수 있네? ($\because g(t)=2$$\because ~g(t)=2$가 존재한다.)

• 그럼 이제 그래프를 다시 그려보자.

  

  이고 이해를 돕기 위해 $y=f^{\prime }(x)$$y=f'(x)$를 그려보면,

  

   

   

  

  조건 (나)를 만족시키기 위해서는 $f(1)=\alpha ,f(4)=\alpha$$f(1)=\alpha,~f(4)=\alpha$가 되야한다. 그리고 $f(0)=\alpha -2$$f(0)=\alpha-2$가 되야 하네?

  자 그럼 $f(x)=\frac{1}{2}(x-1{)}^2(x-4)+\alpha$$f(x)=\cfrac 12 (x-1)^2 (x-4)+\alpha$로 표현을 할 수 있다.

  어? $\alpha =1$$\alpha=1$이다. ($\because x=\alpha$$\because ~x=\alpha$에서 극댓값이 되어야 하고 $f(x)$$f(x)$는 $x=1$$x=1$에서 극댓값이다.)

  $\therefore f(x)=\frac{1}{2}(x-1{)}^2(x-4)+1$$\therefore~f(x)=\cfrac 12(x-1)^2(x-4)+1$

$\therefore f(5)=\frac{1}{2}\cdot 4^2\cdot 1+1=9$$\therefore f(5)=\cfrac 12 \cdot 4^2 \cdot 1+1=9$