2022년 03월 14번

14. 두 함수

$$f(x)=x^3-kx+6,g(x)=2x^2-2$$

에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. $k=0$$k=0$일 때, 방정식 $f(x)+g(x)=0$$f(x)+g(x)=0$은 오직 하나의 실근을 갖는다.

ㄴ. 방정식 $f(x)-g(x)=0$$f(x)-g(x)=0$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$$2$가 되도록 하는 실수 $k$$k$의 값은 $4$$4$뿐이다.

ㄷ. 방정식 $|f(x)|=g(x)$$|f(x)|=g(x)$의 서로 다른 실근의 개수가 $5$$5$가 되도록 하는 실수 $k$$k$가 존재한다.

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i. ㄱ

• 방정식으로 표현하면,

  $x^3+2x^2+4=0$$x^3 +2x^2 +4=0$

• 그냥 그래프를 그리자.

  $y=x^3+2x^2+4$$y=x^3 +2x^2+4$라 하면,

  $y^{\prime }=3x^2+4x=x(3x+4)$$y'=3x^2 +4x=x(3x+4)$

  극댓값은 $x=-\frac{4}{3}$$x=-\cfrac 43$

  극솟값은 $x=0$$x=0$에서 갖는다.

  그런데, $y(0)=4$$y(0)=4$

$\therefore$$\therefore~$True

ii. ㄴ

• $f(x)-g(x)=0$$f(x)-g(x)=0$을 정리하면,

  $x^3-kx+6=2x^2-2$$x^3 -kx+6=2x^2 -2$

• $k$$k$값을 제외하면 그래프가 고정된다!

$x^3-2x^2+8=kx$$x^3 -2x^2+8=kx$

$y=x^3-2x^2+8$$y=x^3 -2x^2 +8$의 그래프와 $y=kx$$y=kx$가 접하는 경우를 구하면 된다.

• 원점에서 $y=x^3-2x^2+8$$y=x^3 -2x^2 +8$에 그은 접선의 기울기를 구하면 된다. ($\because y=kx$$\because ~y=kx$)

  $y^{\prime }=3x^2-4x$$y'=3x^2 -4x$

  곡선 $y=x^3-2x^2+8$$y=x^3 -2x^2 +8$ 위의 접선이 원점을 지나도록 하면 된다.

  임의의 점을 $(\alpha ,{\alpha }^3-2{\alpha }^2+8)$$(\alpha,~\alpha^3 -2\alpha^2 +8)$이라 하면,

  $y=(3{\alpha }^2-4\alpha )(x-\alpha )+{\alpha }^3-2{\alpha }^2+8$$y=\big(3\alpha^2 -4\alpha\big)\Big(x-\alpha\Big)+\alpha^3 -2\alpha ^2 +8$

  이고, 원점 $(0,0)$$(0,~0)$을 지나야하므로, 이를 정리하면,

  $2{\alpha }^3-2{\alpha }^2-8=0$$2\alpha^3 -2\alpha^2 -8=0$

  $(\alpha -2)({\alpha }^2+\alpha +2)=0$$(\alpha -2)(\alpha ^2 +\alpha +2)=0$

  $\therefore \alpha =2$$\therefore~\alpha =2$

  $\therefore k=4$$\therefore~k=4$

True

iii. ㄷ

• 그래프의 개형을 그려서 판단을 하도록 하자.

  $f(x)=x^3-kx+6$$f(x)=x^3 -kx+6$

  $f^{\prime }(x)=3x^2-k$$f'(x)=3x^2 -k$

• $k\le 0$$k\le 0$ 일 때,

  $f(x)$$f(x)$는 증가함수이고 $y=|f(x)|$$y=|f(x)|$의 개형과 $y=g(x)$$y=g(x)$의 개형을 생각하면, 교점은 최대 $2$$2$개가 가능하다.

• $0<k<4$$0<k<4$일 때,

  ㄴ 에 의하여 $y=|f(x)|$$y=|f(x)|$ 와 $y=g(x)$$y=g(x)$의 교점은 최대 $2$$2$개가 가능하다.

• $k=4$$k=4$일 때,

  ㄴ에 의하여 교점은 최대 $3$$3$개 가능하다.

이제 어떻게 할까?

• 아니 언제 $4$$4$개보다 많이 만들어 질 수 있을까?

  • $f(x)=g(x)$$f(x)=g(x)$의 근이 $x=1$$x=1$에서 발생하면?

    

    $x=1+$$x=1+$ 에서의 접선의 기울기값을 비교하면 되겠다?

    • $g^{\prime }(1)\ge \underset{x\to 1+}{lim}{f}^{\prime }(x)$$g'(1)\ge \lim\limits_{x\to 1+} f'(x)$ 이면 교점은 $4$$4$개
    • $g^{\prime }(1)<\underset{x\to 1+}{lim}{f}^{\prime }(x)$$g'(1)< \lim\limits_{x\to 1+}f'(x)$이면 교점은 $5$$5$개가 가능하다.

• $x=1$$x=1$일 때 근이 되기 위한 $k$$k$값을 구하면,

  $f(1)=0$$f(1)=0$에서 $k=7$$k=7$

  $\underset{x\to 1+}{lim}|f^{\prime }(x)|=4$$\lim\limits_{x\to 1+} |f'(x)| =4$

  $g^{\prime }(1)=4$$g'(1)=4$

$\therefore$$\therefore~$ 교점의 개수는 최대 $4$$4$개

False