2022년도 3월 22번

22. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$$f(x)$와 최고차항의 계수가 $1$$1$이고 상수항이 $0$$0$인 삼차함수 $g(x)$$g(x)$가 있다. 양의 상수 $a$$a$에 대하여 두 함수 $f(x),g(x)$$f(x),~g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 $x$$x$에 대하여 $\begin{array}{r}x|g(x)|={\int }_{2a}^x(a-t)f(t)dt\end{array}$$\begin{aligned} x|g(x)|=\int_{2a}^x (a-t)f(t)dt\end{aligned}$이다.

(나) 방정식 $g(f(x))=0$$g\big(f(x)\big)=0$은 서로 다른 실근의 개수는 $4$$4$이다.

$\begin{array}{r}{\int }_{-2a}^{2a}f(x)dx\end{array}$$\begin{aligned} \int_{-2a}^{2a}f(x)dx\end{aligned}$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $f(x)$$f(x)$는 연속함수
• $g(x)=x(x^2+\sim )$$g(x)=x(x^2 +\sim)$
• $a>0$$a>0$

ii. 생각

• 조건 (가)에 $x=2a$$x=2a$를 넣으면?

  $2a|g(2a)|=0$$2a|g(2a)|=0$

  $a>0$$a>0$이므로,

  $\therefore g(2a)=0$$\therefore~g(2a)=0$

  $g(x)=x(x-2a)(x-b)$$g(x)=x(x-2a)(x-b)$로 표현할 수 있다. (단, $b$$b$는 상수)

• 우선 절댓값이 붙은 함수는 보기 싫으니까 치환하자.

  $h(x)=|g(x)|$$h(x)=|g(x)|$로 치환하자.

  어쨌든 $h(x)$$h(x)$는 연속함수

• $\begin{array}{r}xh(x)={\int }_{2a}^x(a-t)f(t)dt\end{array}$$\begin{aligned} xh(x)=\int_{2a}^x(a-t)f(t)dt\end{aligned}$

  우변은 미분가능하다. 그럼 좌변은??? 좌변을 살펴보자.

  $xh(x)=x|x(x-2a)(x-b)|$$xh(x)=x|x(x-2a)(x-b)|$

  미분가능하기 위해서는 $x=0,2a,b$$x=0,~2a,~b$에서 미분가능해야 한다.

  이미 $x=0$$x=0$에서 미분가능하다!

  그러면? $b=2a$$b=2a$가 되어야만 미분가능하다! 절댓값이 붙어있어도!!!

  $\therefore g(x)=x(x-2a{)}^2$$\therefore~g(x)=x(x-2a)^2$

• 이제 정리해보자.

  $\begin{array}{rl}{\int }_{2a}^x(a-t)f(t)dt& =x|x(x-2a{)}^2|\\ \\ & =\{\begin{array}{ll}{x}^2(x-2a{)}^2& (x\ge 0)\\ \\ -x^2(x-2a{)}^2& (x<0)\end{array}\end{array}$$\begin{aligned} \int_{2a}^x (a-t)f(t)dt &=x|x(x-2a)^2| \\ \\ &= \begin{cases} x^2(x-2a)^2 &(x\ge 0)\\ \\-x^2(x-2a)^2 &(x<0)\end{cases}\end{aligned}$

  이제 그럼 당연히 미분하겠지?

  $\begin{array}{rl}(a-x)f(x)& =\{\begin{array}{ll}4x(x-2a)(x-a)& (x\ge 0)\\ \\ -4x(x-2a)(x-a)& (x<-0)\end{array}\end{array}$$\begin{aligned}(a-x)f(x)&=\begin{cases} 4x(x-2a)(x-a)&(x\ge 0)\\ \\ -4x(x-2a)(x-a)&(x<-0)\end{cases} \end{aligned}$

  $\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{4x(x-2a)(x-a)}{a-x}& (x\ge 0)\\ \\ \frac{-4x(x-2a)(x-a)}{a-x}& (x<0)\end{array}\end{array}$$f(x)=\begin{cases}\cfrac{4x(x-2a)(x-a)}{a-x}&(x\ge 0)\\ \\ \cfrac{-4x(x-2a)(x-a)}{a-x}&(x<0) \end{cases}$

• $f(x)$$f(x)$는 연속이다. 즉, $x=a$$x=a$에 연속이다. 정리하면,

  $\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}-4x(x-2a)& (x\ge 0)\\ \\ 4x(x-2a)& (x<0)\end{array}\end{array}$$f(x)=\begin{cases}-4x(x-2a)&(x\ge 0)\\ \\ 4x(x-2a)&(x<0) \end{cases}$

  이제 이해를 돕기 위해 대충 그래프를 그려보자.

  

  남은 조건은 $g(f(x))=0$$g\big(f(x)\big)=0$의 서로 다른 실근의 개수는 $4$$4$개가 되어야 한다.

  우선 아는 사실은 $g(2a)=0,g(0)=0$$g(2a)=0,~g(0)=0$

  그러면, $f(x)=2a,f(x)=0$$f(x)=2a,~f(x)=0$의 근이 $4$$4$개이면 된다.

  • $f(x)=0$$f(x)=0$의 근은 $x=0,x=2a$$x=0,~x=2a$임을 그래프에서 바로 확인할 수 있다.

  • $f(x)=2a$$f(x)=2a$의 근이 두개가 나오기 위해서는

    

    오! $f(a)=2a$$f(a)=2a$를 만족하면 된다. (꼭짓점)

    $-4a(a-2a)=2a$$-4a(a-2a)=2a$

    $4a^2=2a$$4a^2=2a$이고 $a>0$$a>0$이므로,

    $a=\frac{1}{2}$$a=\cfrac 12$

$\begin{array}{c}\therefore f(x)=\{\begin{array}{ll}-4x(x-1)& (x\ge 0)\\ \\ 4x(x-1)& (x<0)\end{array}\end{array}$$\therefore~f(x)=\begin{cases} -4x(x-1)&(x\ge 0)\\ \\ 4x(x-1)&(x<0)\end{cases}$

iii. 게산

$\begin{array}{rl}{\int }_{-2a}^{2a}f(x)dx& ={\int }_{-1}^{0}f(x)dx+{\int }_0^{1}f(x)dx\\ \\ & =4\end{array}$$\begin{aligned}\int_{-2a}^{2a}f(x)dx &=\int_{-1}^0 f(x)dx+\int_0^1 f(x)dx \\ \\ &= 4 \end{aligned}$

$\therefore \begin{array}{rl}{\int }_{-2a}^{2a}f(x)dx& =4\end{array}$$\therefore~\begin{aligned} \int_{-2a}^{2a}f(x)dx &=4\end{aligned}$