2021년 10월 미적분 29번

29. 함수 $f(x)=\sin (ax)(a\ne 0)$$f(x)=\sin (ax)~(a\neq 0)$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 $a$$a$의 값의 합을 구하시오.

(가) $\begin{array}{r}{\int }_0^{\frac{\pi }{a}}f(x)dx\ge \frac{1}{2}\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^{\cfrac{\pi}a} f(x)dx\ge \cfrac 12\end{aligned}$

(나) $0<t<1$$0<t<1$인 모든 실수 $t$$t$에 대하여 $\begin{array}{r}{\int }_0^{3\pi }|f(x)+t|dx={\int }_0^{3\pi }|f(x)-t|dx\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^{3\pi} \big|f(x)+t\big|dx =\int_0^{3\pi} \big|f(x)-t\big|dx\end{aligned}$이다.

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i. 정리

• $f(x)=\sin (ax)(a\ne 0)$$f(x)=\sin (ax)~(a\neq 0)$

  • 주기 : $|a|p=2\pi ⟶p=\frac{2\pi }{|a|}$$|a|p=2\pi \quad \longrightarrow\quad p=\cfrac{2\pi}{|a|}$

• $\begin{array}{r}{\int }_0^{\frac{\pi }{a}}f(x)dx\ge \frac{1}{2}\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^{\cfrac{\pi}a}f(x)dx \ge \cfrac 12\end{aligned}$

  $\begin{array}{rl}{\int }_0^{\frac{\pi }{a}}f(x)dx& =\frac{2}{a}\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^{\cfrac{\pi}a} f(x)dx &= \cfrac 2a\end{aligned}$

  $\frac{2}{a}\ge \frac{1}{2}$$\cfrac 2a \ge \cfrac 12$

  $\therefore a>0,a\le 4$$\therefore~a>0,~a\le 4$

  $\therefore 0<a\le 4$$\therefore~0<a\le 4$

ii. 생각

• 조건 (나)를 생각해보자.

  $|f(x)-t|$$|f(x)-t|$ 와 $|f(x)+t|$$|f(x)+t|$를 생각하면, $y=f(x)$$y=f(x)$를 각각 $y$$y$축으로 $\pm t$$\pm t$만큼 이동 후에 절댓값을 씌운 그래프이다.

  어?

  $f(x)$$f(x)$는 주기함수이고 특히 삼각함수이면???

  한 주기마다 $\begin{array}{r}{\int }_0^p|f(x)+t|dx={\int }_0^p|f(x)-t|dx\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^{p}|f(x)+t|dx =\int_0^{p}|f(x)-t|dx\end{aligned}$가 성립하겠다?

  $p\times n=3\pi$$p\times n =3\pi$ ($n\in \mathbb{N}$$n\in\mathbb N$)

iii. 계산

• $p=\frac{2\pi }{a}$$p=\cfrac{2\pi}a$를 대입하면,

  $\frac{2\pi }{a}\times n=3\pi$$\cfrac{2\pi}a \times n =3\pi$

  $a=\frac{2}{3}n$$a=\cfrac 23 n$

$\therefore a=\frac{2}{3},\frac{4}{3},\cdots ,\frac{12}{3}$$\therefore~a=\cfrac 23,~\cfrac 43,~\cdots ,~\cfrac {12}3$

$\therefore \frac{1}{3}\times \frac{6(2+12)}{2}=14$$\therefore~\cfrac 13 \times \cfrac {6(2+12)}2=14$