2021년 07년 미적분 30번

30. 두 자연수 $a,b$$a,~b$에 대하여 이차함수 $f(x)=a{x}^2+b$$f(x)=ax^2 +b$가 있다. 함수 $g(x)$$g(x)$를

$$g(x)=\ln f(x)-\frac{1}{10}\{f(x)-1\}$$

이라 하자. 실수 $t$$t$에 대하여 직선 $y=|g(t)|$$y=|g(t)|$와 함수 $y=|g(x)|$$y=|g(x)|$의 그래프가 만나는 점의 개수를 $h(t)$$h(t)$라 하자. 두 함수 $g(x),h(t)$$g(x),~h(t)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $g(x)$$g(x)$는 $x=0$$x=0$에서 극솟값을 갖는다.

(나) 함수 $h(t)$$h(t)$는 $t=k$$t=k$에서 불연속인 $k$$k$의 값의 개수는 $7$$7$이다.

$\begin{array}{r}{\int }_0^a{e}^{x}f(x)dx=m{e}^a-19\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^a e^x f(x)dx =me^a-19\end{aligned}$일 때, 자연수 $m$$m$의 값을 구하시오.

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오오오..드디어 문제 같은 문제가 나온 거 같다? 문제를 읽을수록 열 받게 하고 막상 풀어보면 쉽게 풀리는?

i. 정리

• $f(x)=a{x}^2+ba,b\in \mathbb{N}$$f(x)=ax^2+b\quad a,~b\in\mathbb N$

  $x$$x$ 축과 만나지 않는다!!!

  $y$$y$ 축에 대칭!

  그래프 개형은 그려놓자. (귀찮아서 생략)

• $g(x)=\ln f(x)-\frac{1}{10}\{f(x)-1\}$$g(x)=\ln f(x)-\cfrac 1{10}\big\{f(x)-1\big\}$

  헐....그래프 개형을 대충 알기가 힘들다...

• $y=g(x)$$y=g(x)$는 $x=0$$x=0$에서 극솟값을 갖는다.

  이게 중요한 힌트인가보다?

ii. 이럴 때는 가능한 것부터 하는 거지!

• $y=g(x)$$y=g(x)$가 $x=0$$x=0$에서 극솟값!

  $\begin{array}{rl}{g}^{\prime }(x)& =\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}-\frac{1}{10}{f}^{\prime }(x)\\ \\ & =f^{\prime }(x)(\frac{10-f(x)}{f(x)})\end{array}$$\begin{aligned} g'(x)&=\cfrac{f'(x)}{f(x)} -\cfrac 1{10} f'(x) \\ \\ &= f'(x)\Big( \cfrac {10-f(x)}{f(x)}\Big)\end{aligned}$

  $f^{\prime }(x)=2ax,f(x)\ne 0$$f'(x)=2ax,~f(x)\neq 0$

  $10-f(x)$$10-f(x)$가 어떻게 되는 지에 따라 $x=0$$x=0$에서 극대가 될 지 극소가 될 지 알 수 있곘다.

• 함수의 개형을 살펴보자.

  

  $y=g(x)$$y=g(x)$가 $x=0$$x=0$에서 극솟값을 갖는 경우는 $b$$b$의 범위가 $1\le b<10$$1\le b<10$일 때임을 알 수 있다!

• $y=g(x)$$y=g(x)$의 개형을 그려보자.

  

  둘 중 어떤 형태일까? 가능하면 대칭성을 가지면 좋겠는데...

  오! $f(-x)=f(x)$$f(-x)=f(x)$이다! $g(x)$$g(x)$도 살펴보면?

  $g(x)=g(-x)$$g(x)=g(-x)$임을 알 수 있다!!

  다행히 $y$$y$ 축에 대칭으로 몇 가지의 경우만 그려보면 알 수 있겠다!

iii. 그래프 개형을 구해서 $k=7$$k=7$인 경우를 찾자.

$k=5$$k=5$

$k=5$$k=5$

$k=$$k=$아무튼 많다.

$k=$$k=$아무튼 $7$$7$은 아니다...

$k=7$$k=7$

드디어!!!

$g(0)=0$$g(0)=0$을 만족하면 되는 걸 알 수 있다!

iv. 계산하자.

$g(0)=0$$g(0)=0$을 이용하면,

$\begin{array}{rl}g(0)& =\ln b-\frac{1}{10}(b-1)\\ \\ \ln b& =\frac{1}{10}(b-1)\end{array}$$\begin{aligned} g(0)&=\ln b-\cfrac 1{10} (b-1) \\ \\ \ln b&= \cfrac 1{10}(b-1)\end{aligned}$

$\therefore b=1$$\therefore~b=1$

어? $a$$a$는?? 헐...계산해야하네...

v. 어째 계산이 없다 했다...

$\begin{array}{rl}{\int }_0^a{e}^{x}f(x)dx& =a{\int }_0^a{x}^2{e}^{x}dx+{\int }_0^a{e}^{x}dx\\ \\ & =a[(x^2-2x+2)e^x{]}_0^a+[e^x{]}_0^a\\ \\ & =a(a^2-2a+2)e^a-2a+e^a-1\\ \\ & =(a^3-2a^2+2a+1)e^a-(2a+1)\\ \\ & =m{e}^a-19\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^a e^xf(x)dx &= a\int_0^a x^2 e^x dx +\int_0^a e^x dx \\ \\ &= a\Big[ (x^2 -2x+2)e^x \Big]_0^a +\Big[e^x\Big]_0^a \\ \\ &= a(a^2-2a+2)e^a -2a+e^a -1\\ \\ &= (a^3 -2a^2 +2a+1)e^a -(2a+1)\\ \\ &=me^a -19\end{aligned}$

아니 꼭 마지막에도 계산을 더럽게 시켜야만 하나...? 아무튼 $a=2$$a=2$

$\therefore m=586$$\therefore~m=586$