2022학년도 09월 미적분 29번

29. 이차함수 $f(x)$$f(x)$에 대하여 함수 $g(x)=\{f(x)+2\}{e}^{f(x)}$$g(x)=\big\{f(x)+2\big\}e^{f(x)}$이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(a)=6$$f(a)=6$인 $a$$a$에 대하여 $g(x)$$g(x)$는 $x=a$$x=a$에서 최댓값을 갖는다.

(나) $g(x)$$g(x)$는 $x=b,x=b+6$$x=b,~x=b+6$에서 최솟값을 갖는다.

방정식 $f(x)=0$$f(x)=0$의 서로 다른 두 실근을 $\alpha ,\beta$$\alpha,~\beta$라 할 때, $(\alpha -\beta {)}^2$$(\alpha-\beta)^2$의 값을 구하시오. (단, $a,b$$a,~b$는 실수이다.)

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i. 정리

• $f(x)=k{x}^2+\sim$$f(x)=kx^2+\sim$
• $g(x)=\{f(x)+2\}{e}^{f(x)}$$g(x)=\big\{f(x)+2\big\}e^{f(x)}$
• $f(a)=6⟶x=a$$f(a)=6\quad\longrightarrow\quad x=a$일 때, $g(x)$$g(x)$ 최댓값
• $x=b,b+6⟶g(x)$$x=b,~b+6\quad\longrightarrow\quad g(x)$ 최솟값

ii. 생각하자.

• $e^{f(x)}$$e^{f(x)}$가 있는데 극댓값, 극솟값이 아니라 최댓값과 최솟값을 가진다?

  $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}g(x)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}g(x)=0$$\lim\limits_{x\to \infty}g(x)=\lim\limits_{x\to -\infty}g(x)=0$ 가 되어야 한다.

  $\therefore k<0$$\therefore~k<0$

  헷갈리지 않게, $f(x)=-k{x}^2+\sim k>0$$f(x)=-kx^2 +\sim\quad k>0$이라 하자.

• 미분하자. 극댓값이 최댓값이고, 극솟값이 최소값이니까.

  $\begin{array}{rl}{g}^{\prime }(x)& =f^{\prime }(x)e^{f(x)}+\{f(x)+\}{f}^{\prime }(x)e^{f(x)}\\ \\ & =\{f(x)+3\}{f}^{\prime }(x)e^{f(x)}\end{array}$$\begin{aligned} g'(x)&=f'(x)e^{f(x)} +\big\{f(x)+\big\}f'(x)e^{f(x)} \\ \\ &=\big\{f(x)+3\big\}f'(x)e^{f(x)}\end{aligned}$

  극값은 $f(x)=-3,f^{\prime }(x)=0$$f(x)=-3,~f'(x)=0$에서 나타난다.

• 이해를 돕기 위해 그래프를 그리자.

$a=\frac{b+b+6}{2}=b+3$$a=\cfrac{b+b+6}2=b+3$

오!

극값들은 $x=a-3,a,a+3$$x=a-3,~a,~a+3$ 에서 나타난다.

$f(x)=-k(x-a{)}^2+6$$f(x)=-k(x-a)^2+6$ 으로 표현이 가능하고,

$f(x)=-3$$f(x)=-3$을 이용하면,

$\begin{array}{rl}-k(x-a{)}^2+6& =-3\\ \\ -k(x-a{)}^2=-9\\ \\ k(x-a{)}^2=9\\ \\ \sqrt{k}(x-a)=\pm 3\end{array}$$\begin{aligned} -k(x-a)^2 +6&=-3 \\ \\ -k(x-a)^2 =-9\\ \\ k(x-a)^2 =9\\ \\ \sqrt k(x-a)=\pm 3 \end{aligned}$

$x=a-3,a+3$$x=a-3,~a+3$이 되어야 하므로,

$\therefore k=1$$\therefore k=1$

$\therefore f(x)=-(x-a{)}^2+6$$\therefore~f(x)=-(x-a)^2 +6$

$a$$a$는 어디서 구하지? 쓸만한 조건은 다 쓴 것 같은데? 우선 근과 계수와읙 관계를 사용하여 $(\alpha -\beta {)}^2$$(\alpha-\beta)^2$부터 구해보자.

• $f(x)=-x^2+2ax-a^2+6$$f(x)=-x^2 +2ax -a^2 +6$

  $f(x)=0$$f(x)=0$에서 $\{\begin{array}{l}\alpha +\beta =2a\\ \\ \alpha \beta =a^2-6\end{array}$$\begin{cases} \alpha +\beta=2a \\ \\ \alpha \beta =a^2 -6\end{cases}$

  어?

  $\begin{array}{rl}(\alpha -\beta {)}^2& =(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta \\ \\ & =4a^2-4(a^2-6)\\ \\ & =24\end{array}$$\begin{aligned} (\alpha-\beta)^2 &= (\alpha +\beta)^2 -4\alpha\beta \\ \\ &= 4a^2 -4(a^2-6) \\ \\ &=24\end{aligned}$

$\therefore (\alpha -\beta {)}^2=24$$\therefore~(\alpha -\beta)^2 =24$