2022학년도 09월 미적분 30번

30. 최고차항의 계수가 $9$$9$인 삼차함수 $f(x)$$f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (\pi \times f(x))}{x}=0$$\lim\limits_{x\to 0} \cfrac{\sin\big(\pi \times f(x)\big)}x=0$

(나) $f(x)$$f(x)$의 극댓값과 극솟값의 곱은 $5$$5$이다.

함수 $g(x)$$g(x)$는 $0\le x<1$$0\le x<1$일 때, $g(x)=f(x)$$g(x)=f(x)$이고 모든 실수 $x$$x$에 대하여 $g(x+1)=g(x)$$g(x+1)=g(x)$이다.

$g(x)$$g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $\begin{array}{r}{\int }_0^{5}xg(x)dx=\frac{q}{p}\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^5 xg(x)dx =\cfrac qp \end{aligned}$이다. $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 정리

• $f(x)=9x^3+\sim$$f(x)=9x^3 +\sim$
• $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (\pi \times f(x))}{x}=0$$\lim\limits_{x\to 0} \cfrac{\sin\big(\pi \times f(x)\big)}x=0$
• 극댓값$\times$$\times$극솟값$=0$$=0$
• $0\le x<1⟶g(x)=f(x),g(x+1)=g(x)$$0\le x<1\quad \longrightarrow\quad g(x)=f(x),~g(x+1)=g(x)$
• $g(x)$$g(x)$는 연속$⟶g(0)=g(1)$$\quad\longrightarrow\quad g(0)=g(1)$

ii. 생각하자.

• $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (\pi \times f(x))}{x}=0$$\lim\limits_{x\to 0} \cfrac{\sin\big(\pi \times f(x)\big)}x=0$

  1. $\frac{0}{0}$$\cfrac 00$ 의 꼴이다.

     $\sin (\pi \times f(0))=0$$\sin \big(\pi \times f(0)\big)=0$

     $f(0)=kk\in \mathbb{Z}$$f(0)=k\quad k\in\mathbb Z$

  2. 로파틸의 정리를 이용하면,

     $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\cos (\pi \times f(x))\times \pi f^{\prime }(x)}{1}=0$$\lim\limits_{x\to 0} \cfrac{\cos \big(\pi \times f(x)\big)\times \pi f'(x)}1=0$

     $\therefore f^{\prime }(0)=0(\because \cos (\pi \times f(0))=\pm 1)$$\therefore~f'(0)=0\quad (\because~\cos \big(\pi \times f(0)\big)=\pm 1)$

• 이제 $f(x)$$f(x)$의 개형을 그려서 생각해보자.

두번째 그래프의 개형일 때에만 가능하다!

$f^{\prime }(x)=27x(x-\alpha ),f(0)=f(1)$$f'(x)=27x(x-\alpha),~f(0)=f(1)$

적분하면,

$f(x)=9x^3-\frac{27}{2}\alpha x^2+C$$f(x)=9x^3 -\cfrac{27}2\alpha x^2 +C$

$f(0)=f(1)$$f(0)=f(1)$을 이용하면,

$f(0)=C=9-\frac{27}{2}\alpha +C$$f(0)=C=9-\cfrac {27}2\alpha+C$

$\therefore \alpha =\frac{2}{3}$$\therefore~\alpha =\cfrac 23$

$\therefore f(x)=9x^3-9x^2+C$$\therefore~f(x)=9x^3 -9x^2 +C$

극댓값과 극솟값의 곱이 $5$$5$임을 이용하자.

$C\times (C-\frac{4}{3})=5$$C\times (C-\cfrac 43)=5$

$(C-3)(3C+5)=0$$(C-3)(3C+5)=0$

그런데, $C$$C$는 정수이다.

$\therefore C=3$$\therefore~C=3$

$\therefore f(x)=9x^3-9x^2+3$$\therefore~f(x)=9x^3 -9x^2 +3$

iii. 마지막 계산이다!

$\begin{array}{r}{\int }_0^{5}xg(x)dx\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^5 xg(x)dx\end{aligned}$ 를 계산하라고?????

뭐 구간을 나눠야겠고...주기함수임을 이용해야겠다.

$\begin{array}{rl}{\int }_0^{5}xg(x)dx& ={\int }_0^{1}xg(x)dx+{\int }_1^{2}xg(x)dx+{\int }_2^{3}xg(x)dx+{\int }_3^{4}xg(x)dx+{\int }_4^{5}xg(x)dx\end{array}$$\begin{aligned}\int_0^5 xg(x)dx &= \int_0^1 xg(x)dx+\int_1^2xg(x)dx+\int_2^3 xg(x)dx+\int_3^4xg(x)dx+\int_4^5xg(x)dx\end{aligned}$

와우...

$\begin{array}{r}{\int }_0^{1}xg(x)dx={\int }_0^{1}xf(x)dx\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^1 xg(x)dx=\int_0^1 xf(x)dx\end{aligned}$

$\begin{array}{r}{\int }_1^{2}xg(x)dx\end{array}$$\begin{aligned} \int_1^2 xg(x)dx\end{aligned}$는 ....?

아무래도 주기함수임을 이용해야겠다.

$t=x+1$$t=x+1$로 치환하면, 구간은 $0\to 1$$0\to 1$, $dt=dx$$dt=dx$ 어랏?

$\begin{array}{rl}{\int }_0^1(t+1)g(t+1)dt& ={\int }_0^1(x+1)g(x)dx\\ \\ & ={\int }_0^1(x+1)f(x)dx\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^1 (t+1)g(t+1)dt &=\int_0^1 (x+1)g(x)dx \\ \\ &= \int_0^1 (x+1)f(x)dx\end{aligned}$

오호라.. 나머지 경우도 똑같이 진행이 되겠네.

$\begin{array}{rl}{\int }_0^{5}xg(x)dx& ={\int }_0^{1}xf(x)dx+{\int }_0^1(x+1)f(x)dx+{\int }_0^1(x+2)f(x)dx+{\int }_0^1(x+3)f(x)dx+{\int }_0^1(x+4)f(x)dx\\ \\ & =5{\int }_0^{1}xf(x)dx+10{\int }_0^{1}f(x)dx\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^5 xg(x)dx&=\int_0^1xf(x)dx +\int_0^1(x+1)f(x)dx+\int_0^1 (x+2)f(x)dx +\int_0^1 (x+3)f(x)dx +\int_0^1 (x+4)f(x)dx\\ \\ &=5\int_0^1 xf(x) dx +10 \int_0^1 f(x)dx\end{aligned}$

...........계산기 돌린다.

$\begin{array}{r}{\int }_0^{5}xg(x)dx=\frac{111}{4}\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^5 xg(x)dx =\cfrac {111}4\end{aligned}$

$\therefore p+q=115$$\therefore~p+q=115$