2021년 07월 미적분 29번

29. 함수 $f(x)=x^3-x$$f(x)=x^3-x$와 실수 전체의 집합에서 미분가능한 역함수가 존재하는 삼차함수 $g(x)=a{x}^3+x^3+bx+1$$g(x)=ax^3 +x^3 +bx+1$이 있다. 함수 $g(x)$$g(x)$의 역함수 $g^{-1}(x)$$g^{-1}(x)$에 대하여 함수 $h(x)$$h(x)$를

$$\begin{array}{c}h(x)=\{\begin{array}{ll}(f\circ g^{-1})(x)& (x<0\text{ 또는 }x>1\\ \\ \frac{1}{\pi }\sin \pi x& (0\le x\le 1)\end{array}\end{array}$$

이라 하자. 함수 $h(x)$$h(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, $g(a+b)$$g(a+b)$의 값을 구하시오. (단, $a,b$$a,~b$는 상수이다.)

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i. 정리

• $f(x)=x^3-x$$f(x)=x^3 -x$

  $f^{\prime }(x)=3x^2-1$$f'(x)=3x^2 -1$

• $g(x)=a{x}^3+x^2+bx+1$$g(x)=ax^3+x^2 +bx+1$

  • $g(0)=1$$g(0)=1$

  • $g^{\prime }(x)=3a{x}^2+2x+b$$g'(x)=3ax^2 +2x+b$

    $⟶D/4=1-3ab\le 0$$\longrightarrow \quad D/4= ~1-3ab\le 0$

  • $j(x)=g^{-1}(x)$$j(x)=g^{-1}(x)$라 하면,

    $j(1)=0$$j(1)=0$

• $h(x)$$h(x)$는 미분가능

ii. 가능한 것 부터 하자.

• 우선 역함수의 미분이 필요하니까

  $g(j(x))=x⟶g^{\prime }(j(x))j^{\prime }(x)=1$$g(j(x))=x\quad \longrightarrow\quad g'(j(x))j'(x)=1$

  $j^{\prime }(x)=\frac{1}{g^{\prime }(j(x))}$$j'(x)=\cfrac 1{g'(j(x))}$

• 미분가능이면 연속도 하나의 조건이다!

  • $x=0,1$$x=0,~1$에서 연속
  • $x=0,1$$x=0,~1$에서 미분가능

iii. 연속조건부터 확인하자.

• $x=0$$x=0$에서 연속일 조건

  $\begin{array}{rl}\underset{x\to 0-}{lim}h(x)& =h(0)\end{array}$$\begin{aligned} \lim_{x\to 0-}h(x)&=h(0)\end{aligned}$

  $f(j(0))=0⟶j(0)=1,-1,or0$$\quad f(j(0))=0\quad\longrightarrow\quad j(0)=1~,~-1,~or~ 0$

  안 정해지는구나.

• $x=1$$x=1$에서 연속일 조건

  $\begin{array}{r}\underset{x\to 1+}{lim}h(x)=h(1)\end{array}$$\begin{aligned} \lim_{x\to 1+}h(x)=h(1)\end{aligned}$

  $f(j(1))=0$$\quad f(j(1))=0$

  에이...이건 그냥 성립하네...

iv. 미분가능일 조건은 어찌될까?

• $x=0$$x=0$에서 미분가능일 조건

  $\begin{array}{r}\underset{x\to 0-}{lim}{h}^{\prime }(x)=h^{\prime }(0)\end{array}$$\begin{aligned} \lim_{x\to 0-} h'(x)=h'(0) \end{aligned}$

  $f^{\prime }(j(0))j^{\prime }(0)=1⟶f^{\prime }(1)j^{\prime }(0)=1⟶j^{\prime }(0)=\frac{1}{2}$$\quad f'(j(0))j'(0)=1\quad \longrightarrow\quad f'(1)j'(0)=1\quad \longrightarrow \quad j'(0)=\cfrac 12$

  에이....

• $x=1$$x=1$에서 미분가능일 조건

  $\begin{array}{r}\underset{x\to 1+}{lim}{h}^{\prime }(x)=h^{\prime }(1)\end{array}$$\begin{aligned} \lim_{x\to 1+} h'(x)=h'(1)\end{aligned}$

  $f^{\prime }(j(1))j^{\prime }(1)=-1⟶f^{\prime }(0)j^{\prime }(1)=-1⟶j^{\prime }(1)=1$$\quad f'(j(1))j'(1)=-1\quad\longrightarrow\quad f'(0)j'(1)=-1\quad \longrightarrow\quad j'(1)=1$

  $\because j(1)=0\mathrm{\&}{f}^{\prime }(0)=-1$$\quad\because ~j(1)=0~\&~f'(0)=-1$

  그리고, $j^{\prime }(1)=\frac{1}{g^{\prime }(j(1))}=\frac{1}{g^{\prime }(0)}=\frac{1}{b}=1$$j'(1)=\cfrac 1{g'(j(1))}=\cfrac 1{g'(0)}=\cfrac 1b=1$

  $\therefore b=1$$\therefore~b=1$

v. 어디보자.

• $j(1)=0,j^{\prime }(0)=\frac{1}{2},j^{\prime }(1)=1$$j(1)=0,~j'(0)=\cfrac 12,~j'(1)=1$

  어? $y=j(x)$$y=j(x)$는 증가한다! 즉, $y=g(x)$$y=g(x)$도 증가함수!

  그러면, $j(0)=-1$$j(0)=-1$ 이어야만 한다!

  즉, $g(-1)=0$$g(-1)=0$

이를 계산하면,

$g(-1)=-a+1-1+1=0$$g(-1)=-a+1-1+1=0$

$\therefore a=1$$\therefore~a=1$

$\therefore g(x)=x^3+x^2+x+1$$\therefore~g(x)=x^3+x^2+x+1$

$\therefore g(2)=15$$\therefore~g(2)=15$