2022학년도 06월 미적분 29번

29. $t>2e$$t>2e$인 실수 $t$$t$에 대하여 함수 $f(x)=t(\ln x{)}^2-x^2$$f(x)=t(\ln x)^2 -x^2$이 $x=k$$x=k$에서 극대일 때, 실수 $k$$k$의 값을 $g(t)$$g(t)$라 하면 $g(t)$$g(t)$는 미분가능한 함수이다. $g(\alpha )=e^2$$g(\alpha)=e^2$인 실수 $\alpha$$\alpha$에 대하여 $\alpha \times \{g^{\prime }(\alpha ){\}}^2=\frac{q}{p}$$\alpha \times \big\{g'(\alpha)\big\}^2=\cfrac qp$일 때, $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 정리

• $t>2e$$t>2e$

• $f(x)=t(\ln x{)}^2-x^2$$f(x)=t(\ln x)^2 -x^2$

  • $x=k$$x=k$에 극대, $k=g(t)$$k=g(t)$라 하면 $g(t)$$g(t)$는 미분가능

• $g(\alpha )=e^2⟶\alpha \times \{g^{\prime }(\alpha ){\}}^2=?$$g(\alpha)=e^2\quad \longrightarrow\quad \alpha \times \big\{g'(\alpha)\big\}^2=?$

ii. 할 수 있는 것 부터 하자.

• 그래프를 그리고 싶지만..딱히 그려야 할 필요성이 있을까?

  • $\begin{array}{r}\underset{x\to 0+}{lim}f(t)=-\mathrm{\infty },\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }\end{array}$$\begin{aligned} \lim_{x\to 0+} f(t)=-\infty,~\lim_{x\to \infty} f(x)=-\infty\end{aligned}$
  • 그냥 대충 극대값 나오는 것만 확인할 수 있겠다?

• $f^{\prime }(k)=0$$f'(k)=0$을 이용하자.

  $f^{\prime }(x)=2t(\ln x)\times \frac{1}{x}-2x$$f'(x)=2t(\ln x )\times \cfrac 1x -2x$

   

  $f^{\prime }(k)=2t(\ln k)\times \frac{1}{k}-2k=0$$f'(k)=2t(\ln k)\times \cfrac 1k -2k=0$

  $⟵k=g(t)$$\longleftarrow\quad k=g(t)$

  $f^{\prime }(g(t))=2t(\ln g(t))\times \frac{1}{g(t)}-2g(t)=0$$f'(g(t))=2t(\ln g(t))\times \cfrac 1{g(t)} -2g(t)=0$

  $x\ne 0$$x\neq 0$이므로 $g(t)\ne 0$$g(t)\neq 0$이다.

  $\therefore \{g(t){\}}^2=t(\ln g(t))$$\therefore~\big\{g(t)\big\}^2=t\big(\ln g(t)\big)$

• 이 식을 미분하자

  $2g(t)g^{\prime }(t)=\ln g(t)+t\times \frac{g^{\prime }(t)}{g(t)}$$2g(t)g'(t)=\ln g(t)+t\times \cfrac{g'(t)}{g(t)}$

iii. 조건식을 써 놓고 생각하자.

• $\{g(t){\}}^2=t(\ln g(t))$$\big\{g(t)\big\}^2=t\big(\ln g(t)\big)$
• $2g(t)g^{\prime }(t)=\ln g(t)+t\times \frac{g^{\prime }(t)}{g(t)}$$2g(t)g'(t)=\ln g(t)+t\times \cfrac{g'(t)}{g(t)}$

뭐 $t=\alpha$$t=\alpha$를 대입하면 뭔가 나오겠지.

• $e^4=\alpha \times 2⟶\alpha =\frac{e^4}{2}$$e^4=\alpha \times 2\quad \longrightarrow\quad \alpha =\cfrac {e^4}2$

• $2\cdot e^2{g}^{\prime }(\alpha )=2+\alpha \frac{g^{\prime }(\alpha )}{e^2}$$2\cdot e^2 g'(\alpha)=2+\alpha \cfrac {g'(\alpha)}{e^2}$

  어랏? 그냥 각자 값 계산하는 거였네?

  $\therefore g^{\prime }(\alpha )=\frac{4}{3e^2}$$\therefore~g'(\alpha)=\cfrac 4{3e^2}$

$\therefore \alpha \times \{g^{\prime }(\alpha ){\}}^2=\frac{e^4}{2}\times \frac{16}{9e^4}=\frac{8}{9}$$\therefore~\alpha\times \big\{g'(\alpha)\big\}^2= \cfrac {e^4}2 \times \cfrac {16}{9e^4} =\cfrac 89$

$\therefore p+q=17$$\therefore~p+q=17$