2021년 04월 미적분 30번

30. 함수 $f(x)$$f(x)$를

$$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a{x}^{2n}+b{x}^{2n-1}+x}{x^{2n}+2}(a,b\text{는 양의 상수})$$

라 하자. 자연수 $m$$m$에 대하여 방정식 $f(x)=2(x-1)+m$$f(x)=2(x-1)+m$의 실근의 개수를 $c_m$$c_m$이라 할 때, $c_k=5$$c_k=5$인 자연수 $k$$k$가 존재한다. $\begin{array}{r}k+\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(c_m-1)\end{array}$$\begin{aligned} k+\sum_{m=1}^{\infty} \big(c_m-1\big)\end{aligned}$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• 할 수 있는 것부터 하자.

  1. $f(x)$$f(x)$를 구한다.
  2. 그래프 $y=f(x)$$y=f(x)$를 그린 후 생각하자.
  3. $g(x)=2(x-1)+m$$g(x)=2(x-1)+m$은 $(1,m)$$(1,~m)$을 지나고 기울기가 $2$$2$인 직선이다.

ii. $f(x)$$f(x)$를 구하자.

• 극한으로 표현된 함수식에서 특이점은 $\{\begin{array}{l}|x|=1\\ \\ |x|<1\\ \\ |x|>1\end{array}$$\begin{cases} |x|=1 \\ \\ |x|<1\\ \\ |x|>1\end{cases}$

• 계산의 편의를 위해서 껄끄러운 부분을 다시 표현하면,

  $\begin{array}{rl}f(x)& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a{x}^{2n}+b{x}^{2n}\cdot \frac{1}{x}+x}{x^{2n}+2}\end{array}$$\begin{aligned} f(x)&= \lim_{n\to\infty} \cfrac {ax^{2n}+bx^{2n} \cdot \cfrac 1x +x}{x^{2n}+2}\end{aligned}$

• $f(1)=\frac{a+b+1}{3}$$f(1)=\cfrac {a+b+1}3$

• $f(-1)=\frac{a-b-1}{3}$$f(-1)=\cfrac {a-b-1}3$

• $f(x)=\frac{x}{2}(|x|<1)$$f(x)=\cfrac x2 \quad (|x|<1)$

• $f(x)=\frac{b}{x}+a(|x|>1)$$f(x)=\cfrac bx +a\quad (|x|>1)$

iii. $y=f(x)$$y=f(x)$의 개형을 대충 그리자.

iv. $c_k=5$$c_k=5$가 존재할 수 있는 경우를 생각하자.

그래프를 대충 보아하니 $c_k=5$$c_k=5$가 되는 $k$$k$가 존재하기 위해서는 $y=g(x)$$y=g(x)$의 그래프가 $y=f(x)$$y=f(x)$의 그래프가

• $|x|>1$$|x|>1$일 때, 제$1$$1$사분면과 제$3$$3$사분면에서 교점이 나와야 하고,
• $|x|<1$$|x|<1$일 때, 무조건 교점이 한개 존재하고,
• $x=\pm 1$$x=\pm 1$에서 교점이 되어야만 한다!

이를 정리하면,

• $(1,m)=(1,\frac{a+b+1}{3})$$(1,~m)=\big(1,~\cfrac{a+b+1}3\big)$

  $m=\frac{a+b+1}{3}$$m=\cfrac{a+b+1}3$

• $(-1,m-4)=(-1,\frac{a-b-1}{3})$$(-1,~m-4)=\big(-1,~\cfrac {a-b-1}3\big)$

  $m=\frac{a-b-1}{3}+4$$m=\cfrac{a-b-1}3+4$

이를 정리하면,

$b=5,m=\frac{a}{3}+2$$b=5,~m=\cfrac a3+2$

$a$$a$는 $3$$3$의 배수인 자연수!

이것만으로는 $a$$a$를 정할 수 없다. 다른 조건은 없는가 살펴보자. 다시 그래프를 살펴보면 $|x|>1$$|x|>1$에서 교점이 되야하니까,

• $\begin{array}{r}\underset{x\to -1-}{lim}f(x)<g(-1)\end{array}$$\begin{aligned} \lim_{x\to -1-} f(x)<g(-1)\end{aligned}$

  $-b+a<\frac{a-b-1}{3}$$-b+a<\cfrac {a-b-1}3$

  $-5+a<\frac{a}{3}-2$$-5+a<\cfrac a3 -2$

  $\frac{2}{3}a<3$$\cfrac 23 a<3$

  $\therefore a<\frac{9}{2}$$\therefore~a<\cfrac 92$

• $\begin{array}{r}\underset{x\to 1+}{lim}f(x)>g(1)\end{array}$$\begin{aligned} \lim_{x\to 1+} f(x)>g(1)\end{aligned}$

  $5+a>\frac{a}{3}+2$$5+a>\cfrac{a}3+2$

  $\frac{2}{3}a>-3$$\cfrac 23 a>-3$

  $\therefore -\frac{9}{2}<a$$\therefore~-\cfrac 92 <a$

$\therefore -\frac{9}{2}<a<\frac{9}{2}$$\therefore~-\cfrac 92 <a<\cfrac 92$

그런데, $a$$a$는 3의 배수인 자연수이므로 $a=3$$a=3$

v. 마지막 계산

$\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{5}{x}+3& (|x|>1)\\ \\ 3& (x=1)\\ \\ -1& (x=-1)\\ \\ \frac{x}{2}& (|x|<1)\end{array}\end{array}$$f(x)=\begin{cases} \cfrac 5x +3 &(|x|>1)\\ \\ 3&(x=1) \\ \\ -1 &(x=-1) \\ \\ \cfrac x2 &(|x|<1)\end{cases}$

i. $m=3$$m=3$일 때,

$k=3$$k=3$

$c_3=5$$c_3=5$

아....$y=g(x)$$y=g(x)$가 $y=\frac{5}{x}+3$$y=\cfrac 5x +3$이랑 만날 때의 값을 구해야한다...

• $x=1$$x=1$일 때,

$8=m$$8= m$

• x=-1$일 때,

  $-2=-4+m$$-2=-4+m$

  $m=2$$m=2$

  

• $y=\frac{x}{2}$$y=\cfrac x2$와 $y=g(x)$$y=g(x)$의 교점도 살펴야하네..하....

  $-\frac{1}{2}=-4+m$$-\cfrac 12 =-4+m$

  $m=\frac{7}{2}$$m=\cfrac 72$

  다행히 빗겨가는구나....

이를 정리하면,

$c_1=2$$c_1=2$

$c_2=2$$c_2=2$

$c_3=5$$c_3=5$

$c_4,c_5,c_6,c_7=2$$c_4,~c_5,~c_6 ,~c_7=2$

$c_8,c_9,\cdots =1$$c_8,~c_9,~\cdots =1$

$\begin{array}{rl}\therefore k+\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(c_m-1)& =3+(1+1+4+4)+0\\ \\ & =13\end{array}$$\begin{aligned}\therefore~ k+\sum_{m=1}^{\infty}\big(c_m-1)&= 3+(1+1+4+4)+0 \\ \\ &=13\end{aligned}$