2021년 03월 미적분 29번

29.자연수 $n$$n$에 대하여 곡선 $y=x^2$$y=x^2$ 위의 점 $P_n(2n,4n^2)$$P_n(2n,~4n^2)$에서의 접선과 수직이고 점 $Q_n(0,2n^2)$$Q_n(0,~2n^2)$을 지나는 직선을 $l_n$$l_n$이라 하자. 점 $P_n$$P_n$을 지나고 점 $Q_n$$Q_n$에서 직선 $l_n$$l_n$과 접하는 원을 $C_n$$C_n$이라 할 때, 원점을 지나고 원 $C_n$$C_n$의 넓이를 이등분하는 직선의 기울기를 $a_n$$a_n$이라 하자. $\begin{array}{r}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{n}\end{array}$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \cfrac{a_n}n\end{aligned}$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $y=x^2,P_n$$y=x^2 ,~P_n$의 접선에 수직이면서 $Q_n$$Q_n$을 지나는 직선 : $l_n$$l_n$
• $Q_n,l_n$$Q_n,~l_n$에 접하면서 $P_n$$P_n$ 을 지나는 원 : $C_n$$C_n$
• 원점과 $C_n$$C_n$의 중심을 지나는 직선의 기울기 : $a_n$$a_n$
• $\begin{array}{r}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{n}=?\end{array}$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}n=?\end{aligned}$

ii. 계산.. 더럽겠다...

• 원의 중심만 구하면 된다!
• $Q_n$$Q_n$을 지나고 $P_n$$P_n$의 접선에 평행한 직선 : $m_n$$m_n$
• 원의 중심을 $R_n$$R_n$이라 하자.

그러면 원의 중심은 두 가지 방법으로 구할 수 있을 것이다.

• $R_n$$R_n$은 $m_n$$m_n$ 위의 점, $\overline{Q_n{R}_n}=\overline{P_n{R}_n}$$\overline{Q_nR_n}=\overline{P_nR_n}$
• $\overline{P_n{Q}_n}$$\overline{P_nQ_n}$의 수직이등분선과 $m_n$$m_n$의 교점이 $R_n$$R_n$

둘 중 어느 것이 계산이 편할까?

무슨 이야기인지 모른다면...중학교 시절 원의 성질을 기억해보자.

• 외접선에 수직한 직선은 원의 중심을 지난다.
• 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다.

iii. 우선 공통된 계산을 하면서 생각하자.

• $y^{\prime }=2x⟶4n$$y'=2x\quad\longrightarrow\quad 4n$

$\therefore m_n:y=4nx+2n^2$$\therefore~m_n:~y=4nx+2n^2$

식이 깔끔한 걸 보니, 우리도 깔끔하게 $\overline{P_n{Q}_n}$$\overline{P_nQ_n}$의 수직이등분선을 활용하는 게 나을 것 같다.

• $\overline{P_n{Q}_n}$$\overline{P_nQ_n}$ 을 구하자.

• 중점 : $(n,3n^2)$$(n,~3n^2)$
• 기울기 : $\frac{4n^2-2n^2}{2n-0}=n(\because n\ne 0)$$\cfrac{4n^2 -2n^2}{2n-0} =n\quad (\because~n\neq 0)$

$\therefore~y=-\cfrac 1n x+3n^2+1

iv. 계산하자.

• $\{\begin{array}{l}y=4nx+2n^2\\ y=-\frac{1}{n}x+3n^2+1\end{array}$$\begin{cases} y=4nx+2n^2 \\ y=-\cfrac 1n x+3n^2 +1\end{cases}$

이를 풀면,

$x=\frac{n^3+n}{4n^2+1}$$x=\cfrac {n^3+n}{4n^2+1}$

$y=\frac{-n^2-1}{4n^2+1}+3n^2+1$$y=\cfrac {-n^2-1}{4n^2+1}+3n^2+1$

$\therefore a_n=\frac{-(n^2+1)+(3n^2+1)(4n^2+1)}{n(n^2+1)}$$\therefore~a_n=\cfrac {-(n^2+1)+(3n^2+1)(4n^2+1)}{n(n^2+1)}$

더럽다... 다른 선택과목에 비하면 많이 더럽다....

$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{n}& =\frac{12n^4+\sim }{n^2(n^2+1)}\\ & =12\end{array}$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}n &= \frac{12n^4 +\sim}{n^2(n^2+1)} \\ &= 12 \end{aligned}$