2022학년도 06월 미적분 30번

30. $t>\frac{1}{2}\ln 2$$t>\cfrac 12 \ln 2$인 실수 $t$$t$에 대하여 곡선 $y=\ln (1+e^{2x}-e^{-2t})$$y=\ln (1+e^{2x}-e^{-2t})$과 직선 $y=x+t$$y=x+t$가 만나는 서로 다른 두 점 사이의 거리를 $f(t)$$f(t)$라 할 때, $f^{\prime }(\ln 2)=\frac{q}{p}\sqrt{2}$$f'(\ln 2)=\cfrac qp\sqrt 2$이다. $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

---

i. 정리

• $\begin{array}{c}t>\frac{1}{2}\ln 2⟶\{\begin{array}{l}y=\ln (1+e^{2x}-e^{-2t})\\ \\ y=x+t\end{array}\end{array}$$t>\cfrac 12 \ln 2\quad \longrightarrow \quad \begin{cases} y=\ln (1+e^{2x}-e^{-2t}) \\ \\ y=x+t\end{cases}$의 교점 사이의 거리 : $f(t)$$f(t)$
• $f^{\prime }(\ln 2)=?$$f'(\ln 2)=?$

ii. 할 수 있는 것부터 하자.

• 그래프? 힘들 듯 하네. 미분만 해도..어우...야....

• 교점을 구할....? 그냥 교점을 임의로 잡자...

  서로 다른 두 근을 $\alpha ,\beta$$\alpha,~\beta$라 하면 (단, $\alpha <\beta$$\alpha <\beta$ 라 하자.)

  $(\alpha ,\alpha +t),(\beta ,\beta +t)$$(\alpha,~\alpha +t),~(\beta,~\beta+t)$라고 표현할 수 있고 두 점 사이의 거리를 구하면,

  $f(t)=(\beta -\alpha )\sqrt{2}$$f(t)=(\beta -\alpha )\sqrt2$

  이제 $\beta -\alpha$$\beta -\alpha$를 $t$$t$로 표현만 하면 되겠다?

• 편의상 $g(x)=1+e^{2x}-e^{-2t}$$g(x)=1+e^{2x}-e^{-2t}$라 하자.

• $\{\begin{array}{l}\beta +t=\ln g(\beta )\\ \\ \alpha +t=\ln g(\alpha )\end{array}⟶\beta -\alpha =\ln \frac{g(\beta )}{g(\alpha )}$$\begin{cases} \beta +t=\ln g(\beta)\\ \\\alpha +t=\ln g(\alpha)\end{cases}\quad \longrightarrow \beta -\alpha =\ln \cfrac {g(\beta)}{g(\alpha)}$

  어랏? 이거....아닌가보다? 어째...또 다른 선택과목과 다르게 계산이 미친듯이 복잡할 거 같다....

  이럴 거면 구몬수학을 한 넘만 살아남으라는 건가?

• 관계식을 살펴보자...

  $\alpha +t=\ln g(\alpha )$$\alpha +t=\ln g(\alpha)$

  $e^{\alpha +t}=g(\alpha )$$e^{\alpha +t} =g(\alpha)$

  $e^t\cdot e^{\alpha }=1+e^{2\alpha }-e^{-2t}$$e^t \cdot e^{\alpha} =1+e^{2\alpha } -e^{-2t}$

  헐.....와....진짜.....설마 아닐꺼야...

  $e^{2\alpha }-e^t\cdot e^{\alpha }+(1-e^{-2t})=0$$e^{2\alpha } -e^t\cdot e^{\alpha} +(1-e^{-2t})=0$

  $⟶e^{\alpha }=k$$\quad \longrightarrow\quad e^{\alpha}=k$라 하면 이 식은 $k$$k$에 대한 이차방정식... 근과 계수와의 관계를 쓰면....안 풀리겠구나...에휴..

  $e^{\alpha }=\frac{e^t\pm \sqrt{e^{2t}-4(1-e^{-2t})}}{2}$$e^{\alpha }= \cfrac{e^t\pm \sqrt{e^{2t}-4(1-e^{-2t})}}{2}$

  $h(t)=e^{2t}+4(e^{-2t}-1)$$h(t)=e^{2t}+4(e^{-2t}-1)$이라 하자. 그러면,

  $\alpha =\ln \frac{e^t-\sqrt{h(t)}}{2}$$\alpha =\ln \cfrac {e^t -\sqrt {h(t)}}2$

  $\beta =\ln \frac{e^t+\sqrt{h(t)}}{2}$$\beta =\ln \cfrac {e^t+\sqrt{h(t)}}2$

$\therefore \beta -\alpha =\ln \frac{e^t+\sqrt{h(t)}}{e^t-\sqrt{h(t)}}=\ln \frac{(e^t+\sqrt{h(t)}{)}^2}{4(1-e^{-2t})}$$\therefore~\beta -\alpha =\ln \cfrac {e^t +\sqrt{h(t)}}{e^t -\sqrt{h(t)}} =\ln \cfrac{\big(e^t +\sqrt{h(t)}\big)^2}{4(1-e^{-2t})}$

차라리 틀리고 마는 게 날 거 같다는 생각이 들기 시작한다?

iii. $f(t)$$f(t)$를 구하자.

$f(t)=\sqrt{2}\cdot \ln \frac{(e^t+\sqrt{h(t)}{)}^2}{4(1-e^{-2t})}$$f(t)=\sqrt 2 \cdot \ln \cfrac{\big(e^t +\sqrt{h(t)}\big)^2}{4(1-e^{-2t})}$

으하하하하하하하하하하하 이걸 미분하라고????뭐 못할 건 아니다만... 다른 선택과목에 비해 계산량만 필요없을 정도로 많잖아...이건 좀 아니지...

뭐 로그의 성질을 이용해 뺄셈으로 변화시키고 어쩌구 저쩌구 계산하면...

(난 계산기 돌림....)

$f^{\prime }(t)=\sqrt{2}\times \frac{2e^t(e^{2t}-2)}{(e^{2t}-1)\sqrt{4e^{-2t}+e^{2t}-4}}$$f'(t)=\sqrt 2 \times \cfrac {2e^t(e^{2t}-2)}{(e^{2t}-1)\sqrt{4e^{-2t}+e^{2t}-4}}$

$\therefore f^{\prime }(\ln 2)=\frac{8}{3}\sqrt{2}$$\therefore~f'(\ln 2)=\cfrac 83 \sqrt 2$

$\therefore p+q=11$$\therefore~p+q=11$