2021년 03월 미적분 30번

30. 자연수 $n$$n$에 대하여 삼차함수 $f(x)=x(x-n)(x-3n^2)$$f(x)=x(x-n)(x-3n^2)$이 극대가 되는 $x$$x$를 $a_n$$a_n$이라 하자. $x$$x$에 대한 방정식 $f(x)=f(a_n)$$f(x)=f(a_n)$의 근 중에서 $a_n$$a_n$이 아닌 근을 $b_n$$b_n$이라 할 때, $\begin{array}{r}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n{b}_n}{n^3}=\frac{q}{p}\end{array}$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac{a_nb_n}{n^3}=\frac qp\end{aligned}$이다. $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 정리

• $n\in \mathbb{N}$$n\in \mathbb N$

• $f(x)=x(x-n)(x-3n^2)$$f(x)=x(x-n)(x-3n^2)$

  $⟶$$\longrightarrow$ 극대 $x=a_n$$x=a_n$

• $f(x)=f(a_n)⟶x\ne a_n\to x=b_n$$f(x)=f(a_n)\quad\longrightarrow\quad x\neq a_n\rightarrow x=b_n$

• $\begin{array}{r}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n{b}_n}{n^3}=\frac{q}{p}\end{array},p+q=?$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac{a_nb_n}{n^3}=\frac qp\end{aligned} ,~p+q=?$

ii. 상황을 파악하자.

• 당연히 그래프를 그려보자.

• $a_n⟶$$a_n\quad\longrightarrow\quad$계산 가능

• $b_n=?$$b_n=?$

  $\to$$\rightarrow$ 식을 전개하고 풀면...오우...? 대단한 걸? $a_n$$a_n$이 그나마 깔끔하게 나오면 해볼만 할 듯 싶다.

• $b_n$$b_n$은 어떻게 구할 것인가?

  $h(x)=f(x)-f(a_n)$$h(x)=f(x)-f(a_n)$ 이라 하면, ($f(x)$$f(x)$의 그래프를 $y$$y$ 축으로 $-f(a_n)$$-f(a_n)$만큼 이동)

  $h(x)=(x-a_n{)}^2(x-b_n)$$h(x)=(x-a_n)^2(x-b_n)$이 되겠네? $x=a_n$$x=a_n$에서 중근을 가질 것이니까!

iii. 계산하자.

• $f^{\prime }(x)=3x^2-2(3n^2+n)x+3n^3$$f'(x)=3x^2 -2(3n^2+n)x+3n^3$

헐.... 이건 좀 아니잖아??? 인수분해가 안 되잖아!!!!

어쩔 수 없다. 구하자. $3x^2-2(3n^2+n)x+3n^3=0$$3x^2 -2(3n^2+n)x+3n^3=0$의 작은 근일테니까..계산하면,

$a_n=n\cdot \frac{3n+1-\sqrt{9n^2-3n+1}}{3}$$a_n=n\cdot \cfrac {3n+1-\sqrt{9n^2 -3n+1}}3$

이건 좀 아닌 거 같은데....이제 $b_n$$b_n$을 구하자. 아무리 봐도 식을 전개해서 풀어낼 엄두가 나질 않는다.

• $h(x)=f(x)-f(a_n)=(x-a_n{)}^2(x-b_n)$$h(x)=f(x)-f(a_n)=(x-a_n)^2(x-b_n)$을 유심히 보면...

  • $f(0)=0$$f(0)=0$ 그나마 깔끔한 숫자네..어?

    • $x=0$$x=0$을 대입하면! $h(0)=-f(a_n)=-a_n^2{b}_n$$h(0)=-f(a_n)=-a_n^2b_n$ 이거군!

좀 보기 좋게 정리하면,

• $a_n^2{b}_n=f(a_n)$$a_n^2 b_n =f(a_n)$

느낌이 좀 오는데? 문제에서 요구하는 꼴로 만들자. 당연히 그래프를 봐도 $a_n\ne 0$$a_n\neq 0$ 이다.

• $\frac{a_n{b}_n}{n^3}=\frac{f(a_n)}{a_n\cdot n^3}$$\cfrac {a_n b_n}{n^3}=\cfrac {f(a_n)}{a_n \cdot n^3}$

이걸 가지고 계산하면 되겠다.

iv. 마지막 계산

$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n{b}_n}{n^3}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n(a_n-n)(a_n-3n^2)}{a_n\cdot n^3}\\ \\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(a_n-n)(a_n-3n^2)}{n^3}\end{array}$$\begin{aligned}\lim_{n\to\infty} \frac {a_n b_n}{n^3}&=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n(a_n-n)(a_n-3n^2)}{a_n\cdot n^3}\\ \\&=\lim_{n\to\infty}\frac{(a_n-n)(a_n-3n^2)}{n^3} \end{aligned}$

그나마 조금 계산할만 해졌다. 그래도 역시나 한 번에 식을 대입해서 계산하기에는 좀 아닌 듯 하다.

• $a_n$$a_n$을 살펴보자.

  • $a_n=n\cdot \frac{3n+1-\sqrt{9n^2-3n+1}}{3}$$a_n=n\cdot \cfrac {3n+1-\sqrt{9n^2 -3n+1}}3$ , 만일 $n$$n$이 사라지면 극한값이 존재하네? 이거군.

$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n{b}_n}{n^3}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n-n}{n}\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n-3n^2}{n^2}\end{array}$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac {a_n b_n}{n^3}&= \lim_{n\to\infty}\frac{a_n-n}n \cdot \lim_{n\to\infty}\frac{a_n-3n^2}{n^2}\end{aligned}$

각각 계산하면 되곘다! 이미 $a_n$$a_n$에서 $n$$n$이 사라지면 극한값이 존재하는 걸 알았으니까 위의 식은 (계산 생략...수식쓰기 빡씨다...)

$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n-n}{n}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{n}-1\\ \\ & =\frac{1}{2}-1\\ \\ & =-\frac{1}{2}\end{array}$$\begin{aligned}\lim_{n\to\infty} \frac{a_n-n}n &=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}n-1 \\ \\ &=\frac 12 -1 \\ \\ &=-\frac 12 \end{aligned}$

$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n-3n^2}{n^2}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{n^2}-3\\ \\ & =0-3\\ \\ & =-3\end{array}$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac{a_n-3n^2}{n^2} &=\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{n^2} -3 \\ \\ &=0-3\\ \\ &=-3\end{aligned}$

$\therefore (-\frac{1}{2})\times (-3)=\frac{3}{2}$$\therefore~\big(-\cfrac 12\big)\times (-3)=\cfrac 32$

$\therefore 2+3=5$$\therefore~2+3=5$