2021년 10월 미적분 30번

30. 서로 다른 두 양수 $a,b$$a,~b$에 대하여 함수 $f(x)$$f(x)$를

$$f(x)=-\frac{a{x}^3+bx}{x^2+1}$$

라 하자. 모든 실수 $x$$x$에 대하여 $f^{\prime }(x)\ne 0$$f'(x)\neq 0$이고, 두 함수 $g(x)=f(x)-f^{-1}(x),h(x)=(g\circ f)(x)$$g(x)=f(x)-f^{-1}(x),~h(x)=(g\circ f)(x)$가 다음 두 조건을 만족시킨다.

(가) $g(2)=h(0)$$g(2)=h(0)$

(나) $g^{\prime }(2)=-5h^{\prime }(2)$$g'(2)=-5h'(2)$

$4(b-a)$$4(b-a)$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $a,b>0$$a,~b>0$

• $f(x)=-\frac{a{x}^3+bx}{x^2+1},f^{\prime }(x)\ne 0$$f(x)=-\cfrac {ax^3 +bx}{x^2+1},~f'(x)\neq 0$

  오...더럽다... 가만 보자...

  원점대칭인 함수이다!

  • $f(x)=-f(-x)$$f(x)=-f(-x)$
  • $f^{\prime }(x)=f^{\prime }(-x)$$f'(x)=f'(-x)$

• $g(x)=f(x)-f^{-1}(x)$$g(x)=f(x)-f^{-1}(x)$

• $h(x)=g(f(x))$$h(x)=g(f(x))$

  $\begin{array}{rl}h(x)& =g(f(x))\\ \\ & =f(f(x))-f^{-1}(f(x))\\ \\ & =(f\circ f)(x)-x\end{array}$$\begin{aligned} h(x)&=g\big(f(x)\big) \\ \\ &= f\big(f(x)\big)-f^{-1}\big(f(x)\big) \\ \\ &=(f\circ f)(x)-x\end{aligned}$

ii. 생각

• 조건 (가)를 이용하자.

  • $g(2)=f(2)-f^{-1}(2)$$g(2)=f(2)-f^{-1}(2)$

  • $h(0)=f(f(0))-0$$h(0)=f\big(f(0)\big)-0$

    $f(0)=0$$f(0)=0$

    $\therefore h(0)=0$$\therefore~h(0)=0$

  $\therefore f(2)=f^{-1}(2)$$\therefore~f(2)=f^{-1}(2)$

  오....$f(x)$$f(x)$는 원점대칭이니까, $f(2)=\pm 2$$f(2)=\pm 2$가 가능하다!

  $f(x)$$f(x)$가 증가함수이면 $f(2)=2$$f(2)=2$일 것이고, 감소함수이면 $f(2)=-2$$f(2)=-2$가 될 것이다.

  ($\because f(x)$$\because ~f(x)$는 역함수가 존재한다. 이미 조건에서)

  그럼, 이제 할 일은 $f^{\prime }(x)$$f'(x)$를 계산하여 부호를 조사해야겠다.

• $f^{\prime }(x)$$f'(x)$를 구하자.

  더러운 계산은 생략한다...진짜..매번 미적분만 계산이 더러운 거 같은데???

  $f^{\prime }(x)=-\frac{a{x}^4+(3a-b)x^2+b}{(x^2+1{)}^2}$$f'(x)=-\cfrac{ax^4+(3a-b)x^2+b}{(x^2+1)^2}$

  이미 알듯이 $y=f^{\prime }(x)$$y=f'(x)$는 $y$$y$ 축 대칭임을 알 수 있고, $f^{\prime }(0)=-b<0(a,b>0)$$f'(0)=-b<0\quad (a,~b>0)$

  감소함수

  $\therefore f(2)=-2$$\therefore~f(2)=-2$

• $f(2)=-\frac{8a+2b}{5}=-2$$f(2)=-\cfrac {8a+2b}5=-2$

  $\therefore 4a+b=5$$\therefore~4a+b=5$

iii. 또 생각

• 조건 (나)를 이용하자.

  $\begin{array}{rl}{g}^{\prime }(x)& =f^{\prime }(x)-(f^{-1}(x){)}^{\prime }\\ \\ & =f^{\prime }(x)-\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(x))}\end{array}$$\begin{aligned}g'(x)&=f'(x)-\Big(f^{-1}(x)\Big)'\\ \\ &= f'(x)-\cfrac 1{f'(f^{-1}(x)\big)} \end{aligned}$

  $\begin{array}{rl}{g}^{\prime }(2)& =f^{\prime }(2)-\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(2))}\\ \\ & =f^{\prime }(2)-\frac{1}{f^{\prime }(-2)}\\ \\ & ⟵f^{\prime }(x)=f^{\prime }(-x)\\ \\ & =f^{\prime }(2)-\frac{1}{f^{\prime }(2)}\end{array}$$\begin{aligned} g'(2)&=f'(2)-\cfrac 1{f'\big(f^{-1}(2)\big)}\\ \\ &= f'(2)-\cfrac 1{f'(-2)}\\ \\ &\quad \longleftarrow\quad f'(x)=f'(-x)\\ \\ &= f'(2)-\cfrac 1{f'(2)}\end{aligned}$

  $h^{\prime }(x)=f^{\prime }(f(x))\cdot f^{\prime }(x)-1$$h'(x)=f'\big(f(x)\big)\cdot f'(x)-1$

  $\begin{array}{rl}{h}^{\prime }(2)& =f^{\prime }(f(2))f^{\prime }(2)-1\\ \\ & =f^{\prime }(-2)f^{\prime }(2)-1\\ \\ & =(f^{\prime }(2){)}^2-1\end{array}$$\begin{aligned} h'(2)&=f'(f(2))f'(2)-1\\ \\ &=f'(-2)f'(2)-1\\ \\ &= \big(f'(2)\big)^2 -1\end{aligned}$

• $g^{\prime }(2)=-5h^{\prime }(2)$$g'(2)=-5h'(2)$를 활용하자!

  $f^{\prime }(2)-\frac{1}{f^{\prime }(2)}=-5(f^{\prime }(2){)}^2-1)$$f'(2)-\cfrac 1{f'(2)}=-5\big(f'(2)\big)^2 -1\big)$

  $f^{\prime }(2)\ne 0$$f'(2)\neq 0$이니까, 식을 정리하면,

  $5(f^{\prime }(2){)}^3+(f^{\prime }(2){)}^2-5f^{\prime }(2)-1=0$$5\big(f'(2)\big)^3 +\big(f'(2)\big)^2 -5f'(2)-1=0$

  편의상 $f^{\prime }(2)=t$$f'(2)=t$로 치환하여 방정식을 풀면,

  $(5t+1)(t+1)(t-1)=0$$(5t+1)(t+1)(t-1)=0$

  $\therefore f^{\prime }(2)=-\frac{1}{5},-1(\because f^{\prime }(x)<0)$$\therefore~f'(2)=-\cfrac 15,~-1\quad(\because~f'(x)<0)$

iv. 계산

• $f^{\prime }(2)=-\frac{1}{5}$$f'(2)=-\cfrac 15$이면,

  $-\frac{28a-3b}{25}=-\frac{1}{5}$$-\cfrac {28a-3b}{25}=-\cfrac 15$

  $28a-3b=5$$28a -3b=5$

  오! 풀었다.

  $\{\begin{array}{l}28a-3b=5\\ \\ 4a+b=5\end{array}⟶a=\frac{1}{2},b=3$$\begin{cases} 28a-3b=5\\ \\4a+b=5\end{cases}\quad \longrightarrow\quad a=\cfrac 12,~b=3$

• $f^{\prime }(2)=-1$$f'(2)=-1$이면,

  $28a-3b=25$$28a-3b=25$

  $\{\begin{array}{l}28a-3b=25\\ \\ 4a+b=5\end{array}⟶a=b=1$$\begin{cases} 28a-3b=25\\ \\ 4a+b=5 \end{cases}\quad\longrightarrow\quad a=b=1$

  조건에서 $a\ne b$$a\neq b$이므로 이건 답이 아니다.

$\therefore 4(b-a)=4\cdot \frac{5}{2}=10$$\therefore~4(b-a)=4\cdot \cfrac 52 =10$