2022학년도 11월 미적분 29번

29. 그림과 같이 길이가 $2$$2$인 선분 $AB$$AB$를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 $AB$$AB$ 위에 두 점 $P,Q$$P,~Q$를 $\mathrm{\angle }PAB=\theta ,\mathrm{\angle }QBA=2\theta$$\angle PAB=\theta,~\angle QBA=2\theta$가 되도록 잡고, 두 선분 $AP,BQ$$AP,~BQ$의 교점을 $R$$R$라 하자.

선분 $AB$$AB$ 위의 점 $S$$S$, 선분 $BR$$BR$ 위의 점 $T$$T$, 선분 $AR$$AR$ 위의 점 $U$$U$를 선분 $UT$$UT$가 선분 $AB$$AB$에 평행하고 삼각형 $STU$$STU$가 정삼각형이 되도록 잡는다. 두 선분 $AR,QR$$AR,~QR$와 호 $AQ$$AQ$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $f(\theta )$$f(\theta)$, 삼각형 $STU$$STU$의 넓이를 $g(\theta )$$g(\theta)$라 할 때, $\underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{g(\theta )}{\theta \times f(\theta )}=\frac{q}{p}\sqrt{3}$$\lim\limits_{\theta\to 0+}\cfrac{g(\theta)}{\theta\times f(\theta)}=\cfrac qp \sqrt 3$이다. $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $0<\theta <\frac{\pi }{6}$$0<\theta<\cfrac{\pi}6$이고, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 정리

• $f(\theta )=$$f(\theta)=$반원의 넓이- ($\mathrm{△}ABR+\overline{AR},\overline{QR},$$\triangle ABR+\overline{AR},\overline{QR},~$호$AQ$$AQ$로 이루어진 도형)

• $g(x)=\cdots$$g(x)=\cdots$

  닮음을 이용하던지

  $\tan$$\tan$를 이용하던지...뭔가 하면 되겠지?

• 극한 문제다...계산이 더러울 것이 선하다..

  교과외 과정이지만 대다수가 계산상의 편의를 위해 쓰는 로피탈의 정리라 먹힐 리 없다. 삼각함수가 들어갈테니까.

  • $\underset{x\to 0+}{lim}\frac{\sin x\cdot \sin 2x}{x^2}$$\lim\limits_{x\to 0+}\cfrac {\sin x\cdot \sin 2x}{x^2}$을 생각해 보자.

    $\underset{x\to 0+}{lim}\frac{\sin x}{x}\times \underset{x\to 0+}{lim}\frac{\sin 2x}{2x}\times 2$$\lim\limits_{x\to 0+} \cfrac{\sin x}x\times \lim\limits_{x\to 0+}\cfrac{\sin 2x}{2x}\times 2$

    로 계산을 하지만, 조금 더 생각을 해보자.

    

    $\overline{OA}=1,\overline{BH}\mathrm{\perp }\overline{OA},\overline{TA}\mathrm{\perp }\overline{OA}$$\overline{OA}=1,~\overline{BH}\bot\overline{OA},~\overline{TA}\bot\overline{OA}$라 하면,

    $\overline{BH}=\sin \theta ,\stackrel{⌢}{AB}=\theta ,\overline{TA}=\tan \theta$$\overline{BH}=\sin\theta,~\overset{\frown}{AB}=\theta,~\overline{TA}=\tan\theta$이고, 충분히 작은 $\theta$$\theta$에 대해서는

    $0<\sin \theta <\theta <\tan \theta$$0<\sin \theta <\theta<\tan\theta$이 성립한다.

    편의상 이 부등식을 $\theta \to 0+$$\theta\to 0+$로 보내면?

    $0\approx \theta \approx \theta \approx \theta$$0\approx \theta\approx \theta\approx\theta$로 볼 수 있을까?

    즉, 빠른 계산을 위해서 이렇게 해도 된다...

    $\underset{x\to 0+}{lim}\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to 0+}{lim}\frac{/\sin x}{x}=\underset{x\to 0+}{lim}\frac{x}{x}=1$$\lim\limits_{x\to 0+}\cfrac{\sin x}x =\lim\limits_{x\to 0+}\cfrac { \rlap{/}{\sin}x}x=\lim\limits_{x\to 0+}\cfrac xx =1$

    원래는 쓰면 안되는 것이지만, 계산의 속도를 위해서....;;;

ii. $f(\theta )$$f(\theta)$를 구하자.

• 반원의 넓이 : $\frac{1}{2}\pi$$\cfrac 12 \pi$

• $\overline{AR},\overline{QR},$$\overline{AR},\overline{QR},~$호$AQ$$AQ$로 이루어진 도형 : $\frac{1}{2}(\pi -4\theta )-\frac{1}{2}\sin (\pi -4\theta )$$\cfrac 12 (\pi -4\theta)-\cfrac 12 \sin(\pi -4\theta)$

• $\mathrm{△}ARB$$\triangle ARB$의 넓이 :

  

  점 $R$$R$에서 $\overline{AB}$$\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$$H$라 하고, $\overline{AH}=a,\overline{BH}=b$$\overline{AH}=a,~\overline{BH}=b$라 하자.

  • $a+b=2$$a+b=2$
  • $\overline{RH}=a\tan \theta =b\tan 2\theta$$\overline{RH}=a\tan\theta=b\tan 2\theta$

  이를 연립하면, $b=\frac{2\tan \theta \cdot \tan 2\theta }{\tan \theta +\tan 2\theta }$$b=\cfrac{2\tan\theta\cdot \tan 2\theta}{\tan \theta+ \tan 2\theta}$

  $S=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \frac{2\tan \theta \cdot \tan 2\theta }{\tan \theta +\tan 2\theta }=\frac{2\tan \theta \cdot \tan 2\theta }{\tan \theta +\tan 2\theta }$$S=\cfrac 12\cdot 2 \cdot \cfrac {2\tan\theta\cdot \tan 2\theta}{\tan\theta+\tan 2\theta}=\cfrac {2\tan\theta\cdot\tan 2\theta}{\tan\theta+ \tan 2\theta}$

$\begin{array}{rl}\therefore f(\theta )& =2\theta +\frac{1}{2}\sin (\pi -4\theta )-\frac{2\tan \theta \cdot \tan 2\theta }{\tan \theta +\tan 2\theta }\\ \\ & =2\theta +\frac{1}{2}\sin 4\theta -\frac{2\tan \theta \cdot \tan 2\theta }{\tan \theta +\tan 2\theta }\end{array}$$\begin{aligned}\therefore~f(\theta)&=2\theta +\cfrac 12\sin (\pi -4\theta )-\cfrac {2\tan\theta\cdot\tan 2\theta}{\tan\theta + \tan 2\theta} \\ \\ &=2\theta +\cfrac 12\sin 4\theta-\cfrac{2\tan\theta\cdot \tan 2\theta}{\tan\theta+ \tan 2\theta} \end{aligned}$

$\underset{\theta \to 0+}{lim}f(\theta )$$\lim\limits_{\theta\to 0+}f(\theta)$는 발산한다. 수렴하기 위해서는 $\underset{\theta \to +}{lim}\frac{f(\theta )}{\theta }$$\lim\limits_{\theta \to +}\cfrac{f(\theta)}{\theta}$이면 된다?

$\underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{g(\theta )}{\theta \times f(\theta )}=\underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{g(\theta )}{{\theta }^2\times \frac{f(\theta )}{\theta }}$$\lim\limits_{\theta\to 0+} \cfrac{g(\theta)}{\theta\times f(\theta)}=\lim\limits_{\theta\to 0+} \cfrac {g(\theta)}{\theta^2\times\cfrac {f(\theta)}{\theta}}$로 바꾸면 되겠다...에휴... 왜 미적분만..이따위로...

$\begin{array}{rl}\underset{\theta \to +}{lim}\frac{f(\theta )}{\theta }& =2+2-\frac{4}{3}\\ & =\frac{8}{3}\end{array}$$\begin{aligned} \lim\limits_{\theta \to +}\cfrac{f(\theta)}{\theta}&= 2+2-\cfrac 43\\ &= \cfrac {8}{3}\end{aligned}$

iii. $g(\theta )$$g(\theta)$를 구하자.

• $U,T$$U,~T$에서 $\overline{AB}$$\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 각각 $C,D$$C,~D$라 하자.

• $\mathrm{△}STU$$\triangle STU$의 한 변의 길이를 $2\alpha$$2\alpha$라 하자. 그러면, $\overline{CS}=\overline{SD}=\alpha$$\overline{CS}=\overline{SD}=\alpha$이고, $\overline{UC}=\overline{TD}=\sqrt{3}\alpha$$\overline{UC}=\overline{TD}=\sqrt 3 \alpha$

• $\overline{AC}=c,\overline{DB}=d$$\overline{AC}=c,~\overline{DB}=d$라 하면,

  $c+d+2\alpha =2$$c+d+2\alpha=2$

  $c\tan \theta =d\tan 2\theta =\sqrt{3}\alpha$$c\tan \theta=d\tan 2\theta=\sqrt 3\alpha$

  이를 $\alpha$$\alpha$대해 풀면, $\{\begin{array}{l}c=\frac{\sqrt{3}\alpha }{\tan \theta }\\ \\ d=\frac{\sqrt{3}\alpha }{\tan 2\theta }\end{array}$$\begin{cases} c=\cfrac {\sqrt 3\alpha}{\tan \theta}\\ \\ d=\cfrac {\sqrt 3\alpha}{\tan 2\theta}\end{cases}$이고 이를 계산하면, $\frac{\sqrt{3}\alpha }{\tan \theta }+\frac{\sqrt{3}\alpha }{\tan 2\theta }+2\alpha =2$$\cfrac{\sqrt 3\alpha}{\tan\theta}+\cfrac {\sqrt 3\alpha }{\tan 2\theta}+2\alpha =2$

  $\therefore \alpha =\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{\tan \theta }+2+\frac{\sqrt{3}}{\tan 2\theta }}$$\therefore~\alpha =\cfrac {2}{\cfrac {\sqrt3}{\tan\theta}+2+\cfrac {\sqrt 3}{\tan 2\theta}}$

  $g(\theta )=\frac{1}{2}(2\alpha {)}^2\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}{\alpha }^2$$g(\theta)=\cfrac 12 \big(2\alpha)^2 \cfrac{\sqrt 3}2=\sqrt 3 \alpha ^2$

• 구해야 할 값은 $\underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{g(\theta )}{{\theta }^2}=\underset{\theta \to +}{lim}\sqrt{3}(\frac{\alpha }{\theta }{)}^2⟶\underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{\alpha }{\theta }$$\lim\limits_{\theta\to 0+}\cfrac{g(\theta)}{\theta^2}=\lim\limits_{\theta \to +}\sqrt 3 \Big(\cfrac{\alpha }{\theta}\Big)^2\quad \longrightarrow \quad \lim\limits_{\theta\to 0+} \cfrac {\alpha }{\theta}$의 값을 구한 후 계산하자.

$\begin{array}{rl}\underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{\alpha }{\theta }& =\underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{2}{\theta (\frac{\sqrt{3}}{\tan \theta }+2+\frac{\sqrt{3}}{\tan 2\theta })}\\ \\ & =\frac{2}{\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}}\\ \\ & =\frac{2}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}\\ \\ & =\frac{4}{3\sqrt{3}}\end{array}$$\begin{aligned}\lim\limits_{\theta\to 0+}\cfrac {\alpha }{\theta}&=\lim\limits_{\theta\to 0+} \cfrac {2}{\theta\Big(\cfrac {\sqrt3}{\tan\theta}+2+\cfrac {\sqrt 3}{\tan 2\theta}\Big)} \\ \\ &= \cfrac 2 {\sqrt 3 +\cfrac {\sqrt3}2} \\ \\ &= \cfrac 2{\cfrac{3\sqrt 3}2}\\ \\ &=\cfrac 4{3\sqrt 3}\end{aligned}$

$\therefore \underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{g(\theta )}{{\theta }^2}=\sqrt{3}\times \frac{16}{27}$$\therefore~\lim_\limits{\theta\to 0+}\cfrac{g(\theta)}{\theta^2}=\sqrt 3\times \cfrac{16}{27}$

iv. 계산...

$\underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{g(\theta )}{\theta \times f(\theta )}=\underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{g(\theta )}{{\theta }^2}\times \frac{\theta }{f(\theta )}=\sqrt{3}\times \frac{16}{27}\times \frac{3}{8}=\frac{2}{9}\sqrt{3}$$\lim\limits_{\theta\to 0+}\cfrac{g(\theta)}{\theta\times f(\theta)}=\lim\limits_{\theta\to 0+} \cfrac {g(\theta)}{\theta^2}\times \cfrac{\theta}{f(\theta)} =\sqrt3 \times \cfrac {16}{27}\times \cfrac 38=\cfrac 29\sqrt 3$

$\therefore p+q=11$$\therefore~p+q=11$