2022년도 03월 미적분 29번

29. 실수 $t$$t$에 대하여 직선 $y=tx-2$$y=tx-2$가 함수

$$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^{2n+1}-1}{x^{2n}+1}$$

의 그래프와 만나는 점의 개수를 $g(t)$$g(t)$라 하자. 함수 $g(t)$$g(t)$가 $t=a$$t=a$에서 불연속인 모든 $a$$a$의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $a_1,a_2,\cdots ,a_m$$a_1,~a_2,~\cdots ,~a_m$ ($m$$m$은 자연수)라 할 때, $m\times a_m$$m\times a_m$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $y=tx-2⟶$$y=tx-2\quad\longrightarrow\quad$고정점 $(0,-2)$$(0,~-2)$를 지나는 직선
• $f(x)$$f(x)$는 구간별로 나뉘겠네.

ii. 생각

• $f(x)$$f(x)$를 구하자.

  $\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}-1& (|x|<1)\\ \\ -\frac{3}{2}& (x=-1)\\ \\ \frac{1}{2}& (x=1)\\ \\ 2x& (|x|>1)\end{array}\end{array}$$f(x)=\begin{cases} -1&(|x|<1) \\ \\ -\cfrac 32 &(x=-1)\\ \\ \cfrac 12 &(x=1)\\ \\ 2x &(|x|>1)\end{cases}$

• $f(x)$$f(x)$를 그리자.

  

• $(0,-2)$$(0,~-2)$를 지나는 직선을 그리면서 불연속이 나타나는 점을 파악하자.

  

  주의할 점 : $a_5$$a_5$는 $t=2$$t=2$일 때

$\therefore m=7$$\therefore~ m=7$

$a_7$$a_7$은 $(0,-2)$$(0,~-2)$와 $(1,2)$$(1,2)$의 기울기

$\therefore a_7=4$$\therefore~ a_7=4$

$\therefore m\times a_7=28$$\therefore ~m\times a_7 =28$

왠일이지? 문제가 간단하네?