2022년 03월 미적분 30번

30. 그림과 같이 자연수 $n$$n$​에 대하여 곡선

$$T_n:y=\frac{\sqrt{3}}{n+1}{x}^2(x\ge 0)$$

위에 있고 원점 $O$$O$와의 거리가 $2n+2$$2n+2$인 점을 $P_n$$P_n$이라 하고, 점 $P_n$$P_n$에서 $x$$x$ 축에 내린 수선의 발을 $H_n$$H_n$이라 하자.

중심이 $P_n$$P_n$이고 점 $H_n$$H_n$을 지나는 원을 $C_n$$C_n$이라 할 때, 곡선 $T_n$$T_n$과 원 $C_n$$C_n$의 교점 중 원점에 가까운 점을 $Q_n$$Q_n$, 원점에서 원 $C_n$$C_n$에 그은 두 접선의 접점 중 $H_n$$H_n$이 아닌 점을 $R_n$$R_n$이라 하자.

점 $R_n$$R_n$을 포함하지 않는 호 $Q_n{H}_n$$Q_nH_n$과 선분 $P_n{H}_n$$P_nH_n$, 곡선 $T_n$$T_n$으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $f(n)$$f(n)$, 점 $H_n$$H_n$을 포함하지 않는 호 $R_n{Q}_n$$R_nQ_n$과 선분 $O{R}_n$$OR_n$, 곡선 $T_n$$T_n$으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $g(n)$$g(n)$이라 할 때, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(n)-g(n)}{n^2}=\frac{\pi }{2}+k$$\lim\limits_{n\to\infty} \cfrac{f(n)-g(n)}{n^2}=\cfrac{\pi}2 +k$이다. $60k^2$$60k^2$의 값을 구하시오. (단, $k$$k$는 상수이다.)

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에이 그럼 그렇지. 그냥 더러워보이네.

i. 정리

• $\overline{O{P}_n}=2n+2$$\overline{OP_n}=2n+2$
• 문제에서 정의 된대로.....허....

ii. 생각

• 구할 수 있는 것은? (비록 계산이 더러울 지라도...)

  $P_n,R_n,Q_n,H_n$$P_n,~R_n, Q_n,~H_n$

  어? 다 구할 수는 있네...

• $f(n)$$f(n)$은 어찌 구할까?

  와우...뭐 못구하지 않나? 이번 교육과정에서 적분할 수 있을란가?

  구할 수 있어도 계산하기 싫은데?

  그럼 틀릴까?

• $g(n)$$g(n)$은 더 가관인데?

iii. 진지하게 생각하자......

점 $P_n,R_n,Q_n$$P_n,~R_n,~Q_n$으로 이루어진 도형의 넓이를 $h(n)$$h(n)$이라 하고, 점 $Q_n,O,H_n$$Q_n,~O,~H_n$으로 이루어진 도형의 넓이를 $j(n)$$j(n)$이라 하자.

뭐 이거 가지고 더하고 빼면 어찌 되지 않을까? 안되면 틀리고 말지 뭐.

• $f(n)$$f(n)$을 생각하자.

  $\begin{array}{rl}f(n)& ={\int }_0^{H_n}{T}_{n}dx-j(n)\end{array}$$\begin{aligned}f(n)&=\int_0^{H_n} T_n dx-j(n) \end{aligned}$

• $g(n)$$g(n)$을 생각하자.

  $g(n)=$$g(n)=$사다리꼴$P_n{R}_n{I}_n{H}_n-$$P_nR_nI_nH_n-$부채꼴$P_n{R}_n{H}_n-\mathrm{△}{R}_n{I}_{n}O-j(n)$$P_nR_nH_n-\triangle R_nI_nO-j(n)$

  (단, $I_n$$I_n$은 $R_n$$R_n$에서 $x$$x$축에 내린 수선의 발)

어랏? $j(n)$$j(n)$이 사라지겠는데?

• $f(n)-g(n)$$f(n)-g(n)$을 구하자.

  $\begin{array}{rl}f(n)-g(n)& =\int -\text{사다리꼴}+\text{부채꼴}+\text{삼각형}\end{array}$$\begin{aligned} f(n)-g(n)&=\int -\text{사다리꼴}+\text{부채꼴}+\text{삼각형}\end{aligned}$

오..풀리긴 하겠다....특수각일란가?

iv. $P_n$$P_n$을 구하자.

• $P_n(\alpha ,\frac{\sqrt{3}}{n+1}{\alpha }^2)$$P_n(\alpha ,~\cfrac{\sqrt 3}{n+1}\alpha ^2)$과 $(0,0)$$(0,~0)$의 거리는 $(2n+2)$$(2n+2)$임을 이용하여 $\alpha$$\alpha$를 구하자.

  계산 생략....

  $\alpha =n+1$$\alpha =n+1$

  의외로 깔끔하네? 어?

  특수각이다.

  $\mathrm{\angle }O{P}_n{H}_n=\frac{\pi }{3}$$\angle OP_nH_n=\cfrac{\pi}3$

• 이를 이용해 각 점의 좌표를 구하자.

  • $P_n(n+1,\sqrt{3}(n+1))$$P_n\big(n+1,~\sqrt 3 (n+1)\big)$
  • $H_n((n+1),0)$$H_n\big((n+1),~0\big)$
  • $R_n(-(n+1)\cos \frac{\pi }{3},(n+1)\sin \frac{\pi }{3})$$R_n\big(-(n+1)\cos \cfrac{\pi}3,~(n+1)\sin \cfrac{\pi}3\big)$
  • $I_n(-(n+1)\cos \frac{\pi }{3},0)$$I_n\big(-(n+1)\cos \cfrac{\pi}3,~0\big)$

v. 적분식을 계산하자.

$\begin{array}{rl}{\int }_0^{n+1}\frac{\sqrt{3}}{n+1}{x}^{2}dx& =[\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{1}{n+1}\cdot x^3{]}_0^{n+1}\\ \\ & =\frac{\sqrt{3}}{3}(n+1{)}^2\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^{n+1}\cfrac{\sqrt 3}{n+1}x^2 dx&=\Big[\cfrac {\sqrt 3}3 \cdot \cfrac 1{n+1}\cdot x^3 \Big]_0^{n+1} \\ \\ &=\cfrac {\sqrt3}3(n+1)^2\end{aligned}$

vi. 사다리꼴의 넓이

$\begin{array}{rl}S& =\frac{1}{2}(\frac{(n+1)\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}(n+1))\times (\frac{n+1}{2}+n+1)\\ \\ & =\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}(n+1)\sqrt{3}\times \frac{3}{2}(n+1)\\ \\ & =\frac{9\sqrt{3}}{8}(n+1{)}^2\end{array}$$\begin{aligned} S&=\cfrac 12 \Big(\cfrac{(n+1)\sqrt 3}2+\sqrt 3(n+1)\Big)\times \Big(\cfrac {n+1}2+n+1\Big) \\ \\ &=\cfrac 12 \cdot \cfrac 32 (n+1)\sqrt 3\times \cfrac 32 (n+1)\\ \\ &= \cfrac {9\sqrt 3}8(n+1)^2\end{aligned}$

어랏?

vii. 부채꼴의 넓이

$\begin{array}{rl}{S}^{\prime }& =\frac{1}{2}((n+1)\sqrt{3}{)}^2\frac{\pi }{3}\\ \\ & =\frac{1}{2}(n+1{)}^2\pi \end{array}$$\begin{aligned}S'&=\cfrac 12\Big((n+1)\sqrt 3\Big)^2 \cfrac {\pi}3 \\ \\ &= \cfrac 12(n+1)^2 \pi \end{aligned}$

viii. 삼각형의 넓이

$S^{″}=\frac{1}{2}\cdot \frac{n+1}{2}\cdot \frac{n+1}{2}\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{8}(n+1{)}^2$$S''=\cfrac 12 \cdot \cfrac{n+1}2\cdot \cfrac{n+1}2\sqrt 3=\cfrac{\sqrt 3}8 (n+1)^2$

ix. 계산하자.

$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(n)-g(n)}{n^2}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}(n+1{)}^2-\frac{9\sqrt{3}}{8}(n+1{)}^2+\frac{\sqrt{3}}{8}(n+1{)}^2+\frac{1}{2}(n+1{)}^2\pi }{n^2}\\ \\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-\frac{2\sqrt{3}}{3}(n+1{)}^2+\frac{1}{2}(n+1{)}^2\pi }{n^2}\\ \\ & =-\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{\pi }{2}\end{array}$$\begin{aligned}\lim\limits_{n\to\infty}\cfrac{f(n)-g(n)}{n^2}&= \lim\limits_{n\to\infty}\cfrac{\cfrac {\sqrt 3}3(n+1)^2-\cfrac{9\sqrt 3}8(n+1)^2+\cfrac{\sqrt 3}8(n+1)^2 +\cfrac 12(n+1)^2\pi}{n^2} \\ \\ &= \lim\limits_{n\to\infty}\cfrac{-\cfrac {2\sqrt 3}3(n+1)^2+\cfrac 12 (n+1)^2\pi}{n^2}\\ \\ &=-\cfrac {2\sqrt 3}3+\cfrac {\pi}2\end{aligned}$

$\therefore k=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$$\therefore~k=-\cfrac {2\sqrt 3}3$

$\therefore 60k^2=60\times \frac{4\cdot 3}{9}=80$$\therefore~60k^2= 60\times \cfrac{4\cdot 3}9=80$

감흥도 없고....산수만 시키고....기하에 비해서 단순 계산에서만 시간을 잡아먹는 거 아닌가...;;

아니..내가 느린건가...?