2022년도 04월 미적분 29번

29. 그림 같이 좌표평면 위의 제$2$$2$사분면에 있는 점 $A$$A$를 지나고 기울기가 각각 $m_1,m_2(0<m_1<m_2<1)$$m_1,~m_2(0<m_1<m_2<1)$인 두 직선 $l_1,l_2$$l_1,~l_2$라 하고, 직선 $l_1$$l_1$을 $y$$y$축에 대하여 대칭이동한 직선을 $l_3$$l_3$라 하자. 직선 $l_3$$l_3$이 두 직선 $l_1,l_2$$l_1,~l_2$와 만나는 점을 각각 $B,C$$B,~C$라 하면 삼각형 $ABC$$ABC$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\overline{AB}=12,\overline{AC}=9$$\overline{AB}=12,~\overline{AC}=9$

(나) 삼각형 $ABC$$ABC$의 외접원의 반지름의 길이는 $\frac{15}{2}$$\cfrac{15}2$이다.

$78\times m_1\times m_2$$78\times m_1\times m_2$의 값을 구하시오.

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i. 정리

어랏? 미적분에 도형문제네? 삼각함수네?

아무래도 각도를 활용해야겠다. 삼각형이 주어지고 두 변이 주어지고 외접원의 반지름의 길이가 주어졌다?

사인법칙을 써야겠다.

• $\tan \alpha =m_1=l_1$$\tan \alpha =m_1=l_1$의 기울기
• $\tan \beta =m_2=l_2$$\tan \beta =m_2=l_2$의 기울기

ii. 생각

• 사인법칙을 이용하기 위해 각도를 생각하자.

  • $\mathrm{\angle }CAB=\beta -\alpha$$\angle CAB=\beta-\alpha$
  • $\mathrm{\angle }ACB=\pi -(\beta +\alpha )$$\angle ACB=\pi-(\beta+\alpha)$
  • $\mathrm{\angle }CBA=2\alpha$$\angle CBA=2\alpha$

• 사인법칙을 이용하자.

  $\frac{9}{\sin 2\alpha }=\frac{12}{\sin (\alpha +\beta )}=15$$\cfrac 9{\sin 2\alpha } =\cfrac {12}{\sin (\alpha +\beta)}=15$

  이를 정리하면,

  $\sin 2\alpha =\frac{3}{5}$$\sin 2\alpha =\cfrac 35$

  $\sin (\alpha +\beta )=\frac{4}{5}$$\sin(\alpha+\beta)=\cfrac 45$

  어? 익숙한 숫자네?

  그럼 삼각형을 그려야지~

  

• $\tan 2\alpha =\frac{3}{4}$$\tan 2\alpha =\cfrac 34$을 이용하면 $\tan \alpha$$\tan \alpha$를 구할 수 있다!!!

  $\tan (\alpha +\alpha )=\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$$\tan(\alpha+\alpha)=\cfrac {2\tan \alpha }{1-\tan^2 \alpha }$

  $\therefore \tan \alpha =\frac{1}{3}=m_1$$\therefore~\tan \alpha =\cfrac 13 =m_1$

• $\tan (\alpha +\beta )=\frac{4}{3}$$\tan (\alpha +\beta )=\cfrac 43$에서 $\tan \beta$$\tan \beta$를 구할 수 있다?

  $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$$\tan(\alpha +\beta )=\cfrac {\tan \alpha +\tan \beta}{1-\tan\alpha \tan\beta }$

  $\therefore \tan \beta =\frac{9}{13}=m_2$$\therefore~\tan \beta =\cfrac 9{13}=m_2$

$\therefore 78\times m_1\times m_2=18$$\therefore~78\times m_1\times m_2 =18$