2023학년도 06월 미적분 29번

29. 그림과 같이 반지름의 길이가 $1$$1$이고 중심각의 크기가 $\frac{\pi }{2}$$\cfrac{\pi}2$인 부채꼴 $OAB$$OAB$가 있다. 호 $AB$$AB$ 위의 점 $P$$P$에서 선분 $OA$$OA$에 내린 수선의 발을 $H$$H$라 하고, $\mathrm{\angle }OAP$$\angle OAP$를 이등분하는 직선과 세 선분 $HP,OP,OB$$HP,~OP,~OB$의 교점을 각각 $Q,R,S$$Q,~R,~S$라 하자. $\mathrm{\angle }APH=\theta$$\angle APH=\theta$일 때, 삼각형 $AQH$$AQH$의 넓이를 $f(\theta )$$f(\theta)$, 삼각형 $PSR$$PSR$의 넓이를 $g(\theta )$$g(\theta)$라 하자. $\underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{{\theta }^3\times g(\theta )}{f(\theta )}=k$$\lim\limits_{ \theta \to 0+}\cfrac {\theta^3\times g(\theta)}{f(\theta)}=k$라 할 때, $100k$$100k$의 값을 구하시오. (단, $0<\theta <\frac{\pi }{4}$$0<\theta<\cfrac {\pi}4$)

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i. 생각

• $\mathrm{\angle }POB=\theta$$\angle POB=\theta$로 나오는 게 계산하기 더 수월할텐데...뭐 아니면 바꾸지. $\bullet$$\bullet$등등 가능한한 $\theta$$\theta$로 표현을 하자.

  • $2\bullet +\theta =\frac{\pi }{2}$$2\bullet +\theta =\cfrac {\pi}2$

    $\bullet =\frac{\pi }{4}-\frac{\theta }{2}$$\bullet =\cfrac {\pi}4-\cfrac {\theta}2$

  • $\mathrm{\angle }POB=\alpha$$\angle POB=\alpha$라 하면,

    $2\bullet =\alpha +\theta \overline{PH}//\overline{OB}$$2\bullet =\alpha +\theta \quad \quad \overline{ PH} \mathrel {/\!/} \overline{ OB}$

    $\alpha =\frac{\pi }{2}-2\theta$$\alpha =\cfrac {\pi}2 -2\theta$

• 이제 어떻게 구할 지를 생각하자.

  • $\mathrm{△}AHQ$$\triangle AHQ$의 넓이는?

    $\overline{AH},\overline{HQ}$$\overline{ AH},~\overline{ HQ}$를 이용하면 될 것같고

  • $\mathrm{△}PRS$$\triangle PRS$의 넓이는?

    

    $\mathrm{△}POS-\mathrm{△}ROS$$\triangle POS-\triangle ROS$를 하면 될 것 같다. ($\mathrm{△}AOP$$\triangle AOP$에대해서 각의 이등분선 비례식을 활용하면 되겠네.)

• 그럼 이제 필요한 것들을 구하도록 하자.

  • $\overline{AP}=2\cos 2\bullet =2\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )=2\sin \theta$$\overline{ AP} =2\cos 2\bullet =2\cos \big(\cfrac {\pi}2 -\theta )=2\sin \theta$
  • $\overline{AH}=\overline{AP}\sin \theta =2{\sin }^2\theta$$\overline{ AH}=\overline{ AP} \sin \theta =2\sin^2 \theta$
  • $\overline{HQ}=\overline{AH}\tan \bullet =2{\sin }^2\theta \tan (\frac{\pi }{4}-\frac{\theta }{2})$$\overline{ HQ}=\overline{ AH}\tan \bullet =2\sin^2\theta \tan \big(\cfrac {\pi}4-\cfrac {\theta}2\big)$

  $\therefore f(\theta )=\frac{1}{2}\times \overline{AH}\times \overline{HQ}=2{\sin }^4\theta \tan (\frac{\pi }{4}-\frac{\theta }{2})$$\therefore~ f(\theta) =\cfrac 12 \times \overline{ AH}\times \overline{ HQ}=2\sin^4 \theta \tan \Big(\cfrac {\pi}4 -\cfrac {\theta}2\Big)$

   

  • $\overline{PJ}=1\cdot \sin \alpha =\sin (\frac{\pi }{2}-2\theta )=\cos 2\theta$$\overline{ PJ}=1\cdot \sin \alpha =\sin\big(\cfrac {\pi}2 -2\theta \big)=\cos 2\theta$

  • $\overline{AO}:\overline{AP}=\overline{OR}:1-\overline{OR}$$\overline{ AO}:\overline{ AP} =\overline{ OR} :1-\overline{ OR}$

    $\overline{OR}=\frac{1}{2\sin \theta +1}$$\overline{ OR}=\cfrac 1{2\sin\theta +1}$

  $\therefore g(\theta )=\frac{1}{2}\times \overline{OS}\times (\overline{PI}-\overline{RI})$$\therefore~ g(\theta )=\cfrac 12 \times \overline{ OS} \times (\overline{ PI}-\overline{ RI})$

  계.산.생.략

  $\therefore g(\theta )=\frac{1}{2}\tan (\frac{\pi }{4}-\frac{\theta }{2})\cdot \cos 2\theta (\frac{2\sin \theta }{2\sin \theta +1})$$\therefore~ g(\theta)=\cfrac 12 \tan \Big(\cfrac {\pi}4-\cfrac {\theta}2\Big)\cdot \cos 2\theta \Big(\cfrac {2\sin\theta}{2\sin \theta +1}\Big)$

• 이제 극한값을 계산하자.

  $\begin{array}{rl}\underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{{\theta }^3\times g(\theta )}{f(\theta )}& =\underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{{\theta }^3\times \frac{1}{2}\tan (\frac{\pi }{4}-\frac{\theta }{2})\cos 2\theta \times \frac{2\sin \theta }{2\sin \theta +1}}{2{\sin }^4\theta \tan (\frac{\pi }{4}-\theta )}\\ \\ & =\underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{1}{2}\cdot \frac{\cos 2\theta }{2\sin \theta +1}\\ \\ & =\frac{1}{2}\end{array}$$\begin{aligned} \lim\limits_{ \theta \to 0+}\cfrac {\theta^3\times g(\theta)}{f(\theta)}&=\lim\limits_{ \theta\to 0+}\cfrac {\theta ^3\times \cfrac 12 \tan\big(\cfrac {\pi}4-\cfrac {\theta}2\big)\cos 2\theta \times \cfrac {2\sin \theta}{2\sin \theta +1}}{2\sin^4 \theta \tan\big(\cfrac {\pi}4-\theta\big)} \\ \\ &=\lim\limits_{ \theta\to 0+}\cfrac 12\cdot \cfrac {\cos 2\theta}{2\sin\theta +1} \\ \\ &=\cfrac 12\end{aligned}$

$\therefore 100k=50$$\therefore~ 100k=50$