2022년 07월 미적분 29번

29. 그림과 같이 길이가 $2$$2$인 선분 $AB$$AB$를 지름으로 하는 반원의 호 $AB$$AB$ 위에 점 $P$$P$가 있다. 호 $AP$$AP$ 위에 점 $Q$$Q$를 호 $PB$$PB$와 호 $PQ$$PQ$의 길이가 같도록 잡을 때, 두 선분 $AP,BQ$$AP,~BQ$가 만나는 점을 $R$$R$라 하고 점 $B$$B$를 지나고 선분 $AB$$AB$에 수직인 직선이 직선 $AP$$AP$와 만나는 점을 $S$$S$라 하자. $\mathrm{\angle }BAP=\theta$$\angle BAP=\theta$라 할 때, 두 선분 $PR,QR$$PR,~QR$와 호 $PQ$$PQ$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $f(\theta )$$f(\theta)$, 두 선분 $PS,BS$$PS,~BS$와 호 $BP$$BP$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $g(\theta )$$g(\theta)$라 하자. $\underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{f(\theta )+g(\theta )}{{\theta }^3}$$\lim\limits_{ \theta\to 0+}\cfrac {f(\theta)+g(\theta)}{\theta^3}$의 값을 구하시오. (단, $0<\theta <\frac{\pi }{4}$$0<\theta <\cfrac {\pi}4$)

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i. 생각

• $g(\theta )$$g(\theta)$를 구하자.

  • 원의 중심을 $O$$O$라 하면 반지름은 $1$$1$인 반원이다.

  

  • $g(\theta )$$g(\theta)$의 넓이는 $\mathrm{△}SAB$$\triangle SAB$에서 도형 $PAB$$PAB$의 넓이를 빼면 된다.

    • $\mathrm{△}SAB$$\triangle SAB$의 넓이

      • $\overline{AB}=2$$\overline{ AB}=2$
      • $\overline{BS}=\overline{AB}\tan \theta =2\tan \theta$$\overline{ BS}=\overline{ AB}\tan \theta=2\tan \theta$

      $\therefore \mathrm{△}SAB=\frac{1}{2}\times 2\times 2\tan \theta =2\tan \theta$$\therefore~ \triangle SAB=\cfrac 12 \times 2\times 2\tan \theta=2\tan \theta$

    • $\mathrm{△}AOP$$\triangle AOP$를 구하자.

      $\frac{1}{2}\times 1\times 1\times \sin (\pi -2\theta )=\frac{1}{2}\sin 2\theta$$\cfrac 12 \times 1\times 1 \times \sin (\pi -2\theta)=\cfrac 12 \sin 2\theta$

    • 부채꼴 $POB$$POB$의 넓이를 구하자.

      $\frac{1}{2}\times 1\times 1\times 2\theta =\theta$$\cfrac 1 2 \times 1\times 1 \times 2\theta=\theta$

    $\therefore g(\theta )=2\tan \theta -\frac{1}{2}\sin 2\theta -\theta$$\therefore~ g(\theta)=2\tan \theta -\cfrac 12 \sin 2\theta -\theta$

• $f(\theta )$$f(\theta)$를 구하자.

  • $\overline{OQ}$$\overline{ OQ}$를 긋자. 어..이건 필요 없었다...ㅎㅎㅎ
  • $\overline{PO}$$\overline{ PO}$와 $\overline{QB}$$\overline{ QB}$의 교점을 $H$$H$라 하자.

  

  • 부채꼴 $QOBP$$QOBP$의 넓이에서 $\mathrm{△}QOB$$\triangle QOB$를 뺀 후 나누기 $2$$2$를 한 후에 $\mathrm{△}PRH$$\triangle PRH$의 넓이를 빼면 된다.

    • 부채꼴의 넓이

      $\mathrm{\angle }POB=\mathrm{\angle }POQ=2\theta$$\angle POB=\angle POQ=2\theta$

      $\therefore \frac{1}{2}\times 1\times 1\times 4\theta =2\theta$$\therefore~ \cfrac 12\times 1\times 1\times 4\theta=2\theta$

    • $\mathrm{△}QOB$$\triangle QOB$의 넓이

      $\frac{1}{2}\times 1\times 1\times \sin 4\theta$$\cfrac 12 \times 1\times 1\times \sin 4\theta$

    • 중간 단계까지 계산하면,

      $(2\theta -\frac{1}{2}\sin 4\theta )\times \frac{1}{2}=\theta -\frac{1}{4}\sin 4\theta$$\Big(2\theta -\cfrac 12 \sin 4\theta \Big)\times \cfrac 12=\theta -\cfrac 14\sin 4\theta$

    • $\mathrm{△}PRH$$\triangle PRH$를 구하자.

      $\overline{OH}=\overline{OB}\cos 2\theta ⟶\overline{PH}$$\overline{ OH}=\overline{ OB}\cos 2\theta\quad \longrightarrow \quad \overline{ PH}$

      $\overline{PH}=1-\overline{OH}=1-\cos 2\theta$$\overline{ PH}=1-\overline{ OH} =1-\cos 2\theta$

      $\overline{RH}=\overline{PH}\tan \theta =(1-\cos 2\theta )\tan \theta$$\overline{ RH}=\overline{ PH}\tan\theta=(1-\cos 2\theta)\tan \theta$

      $\therefore \frac{1}{2}(1-\cos 2\theta {)}^2\tan \theta$$\therefore~ \cfrac 12 (1-\cos 2\theta )^2 \tan \theta$

    $\therefore f(\theta )=\theta -\frac{1}{4}\sin 4\theta -\frac{1}{2}(1-\cos 2\theta {)}^2\tan \theta$$\therefore~ f(\theta)=\theta -\cfrac 14\sin 4\theta -\cfrac 12 (1-\cos 2\theta )^2 \tan \theta$

• 계산하자.

  $\begin{array}{rl}\underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{f(\theta )+g(\theta )}{{\theta }^3}& =\underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{2\tan \theta -\frac{1}{2}\sin 2\theta -\frac{1}{4}\sin 4\theta -\frac{1}{2}(1-\cos 2\theta {)}^2\tan \theta }{{\theta }^3}\end{array}$$\begin{aligned}\lim\limits_{ \theta \to 0+} \cfrac {f(\theta)+g(\theta)}{\theta^3 }&=\lim\limits_{ \theta \to 0+} \cfrac {2\tan \theta -\frac 12 \sin 2\theta-\cfrac 14 \sin 4\theta -\frac 12 (1-\cos 2\theta )^2 \tan \theta }{\theta^3} \end{aligned}$

  헐....계산이 안되네? 로피탈 쓰면 ..그래도 애매한데 ??

  그럼 뭐...죄다 $\theta$$\theta$로 표현하지 뭐.

  • $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$
  • $\sin 4\theta =2\sin 2\theta \cos 2\theta =4\sin \theta \cos \theta \cos 2\theta$$\sin 4\theta =2\sin 2\theta \cos 2\theta =4\sin\theta \cos \theta\cos 2\theta$
  • $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$$\cos 2\theta =\cos ^2\theta -\sin ^2 \theta$

  다시 대입하자.

  $\begin{array}{rl}\underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{f(\theta )+g(\theta )}{{\theta }^3}& =\underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{2\tan \theta -\sin \theta \cos \theta (1+\cos 2\theta )-\frac{1}{2}(2{\sin }^2\theta {)}^2\tan \theta }{{\theta }^3}\\ \\ & =\underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{2\tan \theta -\sin \theta \cos \theta (2{\cos }^2\theta )}{{\theta }^3}\\ \\ & =\underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{2\tan \theta -2\sin \theta {\cos }^3\theta }{{\theta }^3}\end{array}$$\begin{aligned}\lim\limits_{ \theta \to 0+} \cfrac {f(\theta)+g(\theta)}{\theta^3 }&=\lim\limits_{ \theta\to 0+} \cfrac {2\tan \theta -\sin\theta \cos \theta(1+\cos 2\theta) -\frac 12(2\sin^2\theta )^2\tan\theta }{\theta^3}\\ \\ &= \lim\limits_{ \theta\to 0+} \cfrac {2\tan \theta -\sin\theta\cos\theta (2\cos^2 \theta)}{\theta^3}\\ \\ &=\lim\limits_{ \theta\to 0+} \cfrac {2\tan\theta -2\sin \theta\cos ^3 \theta }{\theta^3} \end{aligned}$

  그나마 다행이 뒷부분이 날라가긴 했는데..뭐야 이거...

  통분할까?

  $\begin{array}{rl}\underset{\theta \to 0+}{lim}2\times \frac{\sin \theta -\sin \theta {\cos }^4\theta }{{\theta }^3\cos \theta }& =2\underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{1-{\cos }^4\theta }{{\theta }^2}\\ \\ & =\underset{\theta \to 0+}{lim}2\times \frac{(1+{\cos }^2\theta )(1-{\cos }^2\theta )}{{\theta }^2}\\ \\ & =4\underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{{\sin }^2\theta }{{\theta }^2}\\ \\ & =4\end{array}$$\begin{aligned} \lim\limits_{ \theta\to 0+} 2\times \cfrac {\sin \theta -\sin \theta \cos ^4\theta }{\theta ^3\cos\theta } &=2\lim\limits_{ \theta \to 0+} \cfrac {1-\cos ^4 \theta }{\theta^2} \\ \\ &= \lim\limits_{\theta\to 0+} 2\times \cfrac {(1+\cos ^2\theta )(1-\cos ^2 \theta)}{\theta^2}\\ \\ &= 4\lim\limits_{ \theta \to 0+} \cfrac {\sin^2 \theta }{\theta^2} \\ \\ &=4\end{aligned}$

$\sin \theta \to \theta ,\tan \theta \to \theta$$\sin \theta \to \theta,~\tan\theta \to \theta$로 취급해서 안 풀리는 문제는 첨인데?