2024년 10월 20번

20. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$$f(x)$가 모든 실수 $x$$x$에 대하여 $\begin{array}{rl}\{f(x){\}}^2& =2{\int }_3^0(t^2+2t)f(t)dt\end{array}$$\begin{aligned} \{f(x)\}^2&=2\int_3^0 (t^2 +2t)f(t)dt\end{aligned}$을 만족시킬 때, $\begin{array}{r}{\int }_{-3}^{0}f(x)dx\end{array}$$\begin{aligned} \int_{-3}^0f(x)dx\end{aligned}$의 최댓값을 $M$$M$, 최솟값을 $m$$m$이라 하자. $M-m$$M-m$의 값을 구하시오.

 

---

i. 정리

• $f(3{)}^2=0⟶f(3)=0$$f(3)^2=0\quad\longrightarrow \quad f(3)=0$

• $2f(x)f^{\prime }(x)=2(x^2+2x)f(x)$$2f(x)f'(x)=2(x^2+2x)f(x)$

  $f(x)(f^{\prime }(x)-x^2-2x))=0$$f(x)\big(f'(x)-x^2 -2x)\big)=0$

  $\therefore f(x)=0or{f}^{\prime }(x)=x^2+2x$$\therefore~ f(x)=0\quad or\quad f'(x)=x^2+2x$

  편의상 $g(x)=\begin{array}{r}\int f^{\prime }(x)dx\end{array}=\frac{1}{3}{x}^3+x^2+C$$g(x)=\begin{aligned} \int f'(x)dx \end{aligned} =\cfrac 13x^3 +x^2+C$라 하자.

ii. 시작

i. $f(x)=g(x)$$f(x)=g(x)$이면?

$g(3)=0⟶C=-18$$g(3)=0\quad \longrightarrow \quad C=-18$

이 경우가 $m$$m$일 때 즉, 최솟값일 때일 것이다.

ii. 그럼 최댓값은 언제 발생할까?

갈색 그래프 형태인 $\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3}{x}^3+x^2& x<0\\ 0& x\ge 0\end{array}\end{array}$$f(x)=\begin{cases} \cfrac 13 x^3 +x^2 &x<0\\ 0&x\ge 0\end{cases}$일 때가 최댓값인 $M$$M$일 것이다.

iii. 계산

$\begin{array}{rl}\therefore M-m& ={\int }_{-3}^0\{\frac{1}{3}{x}^3+x^2\}dx-{\int }_{-3}^0\{\frac{1}{3}{x}^3+x^2-18\}\\ & ={\int }_{-3}^{0}18dx\\ & =54\end{array}$$\begin{aligned} \therefore~M-m&=\int_{-3}^0 \big\{ \cfrac 13 x^3 +x^2 \big\}dx -\int_{-3}^0 \big\{\cfrac 13 x^3 +x^2 -18\big\}\\ &= \int_{-3}^0 18dx \\ &= 54\end{aligned}$

$\therefore M-m=54$$\therefore~ M-m=54$